[논문 리뷰] Assouad dimension influences the box and packing dimensions of orthogonal projections

K. J. Falconer, Jonathan M. Fraser외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 12.

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한 줄 요약

이 논문은 상소드 차원(및 관련된 준-상소드 및 상소드 스펙트럼)이 수직 투영에 따른 상자 차원과 패킹 차원의 유지 여부를 결정짓는다고 규명한다. 만약 $F \subseteq \mathbb{R}^n$의 상소드 차원이 $m$ 이하이면, 거의 모든 $m$차원 부분공간으로의 투영에서 상자 차원과 패킹 차원이 유지되며, 이에 대한 예외적인 투영 집합의 크기에 대한 날카로운 경계가 제시된다.

ABSTRACT

We present several applications of the Assouad dimension, and the related quasi-Assouad dimension and Assouad spectrum, to the box and packing dimensions of orthogonal projections of sets. For example, we show that if the (quasi-)Assouad dimension of $F \\subseteq \ n$ is no greater than $m$, then the box and packing dimensions of $F$ are preserved under orthogonal projections onto almost all $m$-dimensional subspaces. We also show that the threshold $m$ for the (quasi-)Assouad dimension is sharp, and bound the dimension of the exceptional set of projections strictly away from the dimension of the Grassmannian.

연구 동기 및 목표

• 집합의 상자 및 패킹 차원이 수직 투영에 의해 유지되는 기하적 조건을 규명하는 것.
• 상소드 유형 차원이 투영에서의 차원 감소를 통제하는 데서 수행하는 역할을 조사하는 것.
• 상소드, 준-상소드, 상소드 스펙트럼 차원을 바탕으로 차원 유지의 날카로운 임계값을 설정하는 것.
• 차원 감소가 발생할 수 있는 예외적인 투영 집합의 크기를 정량화하고, 그 하우스도르프 차원이 그라스만다인 차원보다 엄밀히 낮게 경계하는 것.
• 기존 하우스도르프 차원 유지 결과를 상자 및 패킹 차원으로 확장하기 위해 차원 프로파일 및 능력 기반 방법을 사용하는 것.

제안 방법

• 상자 및 패킹 차원이 수직 투영에 의해 어떻게 행동하는지 분석하기 위해 차원 프로파일과 능력 기반 기법을 사용한다.
• 차원 유지 임계값을 유도하기 위해 상한 상소드 스펙트럼 $\overline{\dim}_{\text{A}}^{\theta}F$와 준-상소드 차원 $\dim_{\text{qA}}F$를 도구로 활용한다.
• 이진 전개와 자릿수 제한 집합을 가진 집합 $X_S$를 기반으로 한 구성 기법을 사용하여 제어된 상소드 및 상자 차원을 가진 예제를 생성한다.
• 스케일 $2^{-k}$에서의 큐브 커버링을 사용하여 투영 $\pi_V F$의 커버링 추정치를 유도하며, 기하학적 및 조합적 추정치를 결합한다.
• 곱집합 $X_S^n$의 상소드 차원을 제어하기 위해 반복 밀도 $\overline{d}_B(S)$의 개념을 적용한다.
• 예외적인 투영 집합의 하우스도르프 차원을 경계하기 위해 부등식 $\dim_{\text{H}}\{V : \overline{\dim}_{\text{B}}\pi_V F < \cdots\} \leq m(n-m) - (m-s)$를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 집합 $F \subseteq \mathbb{R}^n$ 에 대해 어떤 조건에서 $m$차원 부분공간으로의 수직 투영에서 상자 및 패킹 차원이 유지되는가?
• RQ2 집합 $F$의 상소드 차원은 그 투영의 차원에 어떻게 영향을 미치며, $m$은 차원 유지에 대해 날카로운 임계값인가?
• RQ3 차원 감소가 발생할 수 있는 예외적인 투영 집합의 최대 가능한 하우스도르프 차원은 얼마인가?
• RQ4 상소드 스펙트럼 또는 준-상소드 차원을 사용하여 투영 차원의 상한 및 하한을 더 격자로 조정할 수 있는가?
• RQ5 이러한 결과는 투영 정리의 맥락에서 하우스도르프 차원에서 상자 및 패킹 차원으로 얼마나 넓게 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 만약 $\dim_{\text{A}}F \leq m$ 이면, 거의 모든 $V \in G(n,m)$ 에 대해 $\overline{\dim}_{\text{B}}\pi_V F = \overline{\dim}_{\text{B}}F$ 이고 $\dim_{\text{P}}\pi_V F = \dim_{\text{P}}F$ 이다.
• 상소드 차원에 대한 임계값 $m$은 날카로운 것이다: 만약 $\dim_{\text{A}}F > m$ 이면, 일반적인 투영에서 차원 감소가 발생할 수 있다.
• $s \in (0,m)$ 에 대해, $\overline{\dim}_{\text{B}}\pi_V F$ 가 $\overline{\dim}_{\text{B}}F - \max\{0, \overline{\dim}_{\text{A}}^{\theta}F - s, (\dim_{\text{A}}F - s)(1 - \theta)\}$ 이하로 떨어지는 예외적인 투영 집합의 하우스도르프 차원은 $m(n-m) - (m - s)$ 이하이다.
• 준-상소드 차원 $\dim_{\text{qA}}F$ 는 차원 유지 임계값을 통제한다: 만약 $\dim_{\text{qA}}F \leq m$ 이면, 거의 모든 $m$차원 투영에서 상자 및 패킹 차원이 유지된다.
• 상소드 스펙트럼 및 준-상소드 차원으로부터 도출된 투영 차원의 상한 및 하한은 $s = n$ 인 경우 날카로운 것으로 밝혀지며, 이는 (1.2)에서 알려진 상한과 일치한다.
• 자릿수 집합이 제한된 집합 $X_S^n$ 을 사용한 구성에서 $\overline{d}(S) = t/n$ 이고 $\overline{d}_B(S) = s/n$ 이면, $\dim_{\text{P}}F = t$, $\dim_{\text{A}}F = s$, 그리고 $\dim_{\text{B}}\pi_V F \geq d = \frac{mst}{m(s-t) + st}$ 를 만족하는 예제를 얻을 수 있으며, 이는 유도된 경계의 날카로움을 보여준다.