[論文レビュー] Assouad type dimensions and homogeneity of fractals

Jonathan M. Fraser|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 16被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、フラクタルの幾何学的均質性を研究するための双対的ペアとしてアッソウド次元とローワー次元を導入し、分析する。自己同相似カーペットにおいて、アッソウド次元がボックス次元を超えることが示され、またローワー次元がハウスドルフ次元よりも厳密に小さい場合があることが明らかになり、スケーリング行動における本質的非一様性が明らかになった。

ABSTRACT

We investigate several aspects of the Assouad dimension and the lower dimension, which together form a natural `dimension pair'. In particular, we compute these dimensions for certain classes of self-affine sets and quasi-self-similar sets and study their relationships with other notions of dimension, like the Hausdorff dimension for example. We also investigate some basic properties of these dimensions including their behaviour regarding unions and products and their set theoretic complexity.

研究の動機と目的

• フラクタル集合の幾何学的均質性を評価するための補完的ツールとしてアッソウド次元とローワー次元を調査すること。
• 自己同相似カーペットおよび準自己相似集合に対してこれらの次元を計算し、スケーリングの極値を明らかにすること。
• フラクタル幾何学におけるアッソウド次元、ローワー次元、ハウスドルフ次元、ボックス次元の関係を明確にすること。
• ローワー次元が集合の最も効率的に被覆可能な部分を厳密に測る指標であることを示し、アッソウド次元が最も複雑な領域に焦点を当てるのと対照的にすること。
• 未解決の次元差異に関する問題を解消し、重なりを伴う自己相似集合において上位ボックス次元とアッソウド次元が異なる例を構成すること。

提案手法

• 自己同相似集合に対して、弱接線（weak tangents）と非常に弱い接線（very weak tangents）を用いて、それぞれアッソウド次元とローワー次元を推定する。
• 自己同相似カーペットの次元を計算するために、繊細な被覆議論と接空間構成を組み合わせる。
• ラレー＝ガツーラスのカーペットのハウスドルフ次元の公式を用いて、長方形の高さの変化が次元値に与える影響を分析する。
• 累乗和方程式の解を含むボックス次元の公式を適用する：$\sum_{i,j} c_i^{s_1} d_{ij}^{s-s_1} = 1$。
• バーレのカテゴリおよび可測性解析を用いて、コンパクト集合上の次元写像の集合論的複雑性を研究する。
• 双対性の議論を用いて、特に積空間および繊維構造の文脈において、アッソウド次元とローワー次元を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アッソウド次元とローワー次元は、フラクタル集合の極限的な局所的スケーリング行動をどの程度捉えているか。
• RQ2 重なりを伴う自己相似集合において、アッソウド次元がボックス次元を超えることは可能か。もし可能であれば、どのような条件下で成立するか。
• RQ3 非一様な繊維を伴う自己同相似カーペットにおいて、ローワー次元はハウスドルフ次元とどのように関係しているか。
• RQ4 準自己相似集合および自己同相似カーペットにおいて、アッソウド次元とローワー次元の関係は何か。
• RQ5 ローワー次元がハウスドルフ次元に等しくなる条件は何か。また、いつそれが厳密に小さくなるのか。

主な発見

• 非一様な垂直繊維を伴う自己同相似カーペットでは、ローワー次元がハウスドルフ次元よりも厳密に小さいことが示され、スケーリング行動における本質的非一様性が裏付けられた。
• 自己同相似カーペットのアッソウド次元は、その上位ボックス次元を超えることができることを確認し、オリセンが以前に疑問視した乖離が正当化された。
• 本稿では、上位ボックス次元とアッソウド次元が異なる自己相似集合の例を構成し、オリセンが提起した問いに答えを提示した。
• 自己同相似カーペットの混合クラスにおいて、アッソウド次元はすべての$j$および$i$について$\dim_B \pi_j(F) + \dim_B \text{Slice}_{j,i}(F)$の最大値に等しくなることが示され、アッソウド次元の明確な公式が得られた。
• ローワー次元は、均等に分布する繊維を有する修正されたIFS $F_1$ に対して $\dim_L F = \dim_H F_1$ を満たし、繊維が非一様な場合に $\dim_L F < \dim_H F$ が成り立つことを証明した。
• ローワー次元とボックス次元が等しいことは、アッソウド次元がローワー次元に等しいことを示唆するが、その逆は成り立たないため、双対性に非対称性が存在することが示された。