[論文レビュー] $\ast$-operator frame for $End_{\mathcal{A}}^{\ast}(\mathcal{H})$

Mohamed Rossafi, Samir Kabbaj|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2018

Mathematical Analysis and Transform Methods被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、C*-代数 $\mathcal{A}$ 上のヒルベルト $C^\ast$-加群における $\ast$-演算子フレームの概念を導入し、随伴可能演算子を組み込むことで $\ast$-フレームを一般化する。$\ast$-フレーム作用素を確立し、ヒルベルト $C^\ast$-加群 $\mathcal{H}$ と $\mathcal{K}$ の $\ast$-演算子フレームのテンソル積が、$\mathcal{H} \otimes \mathcal{K}$ における $\ast$-演算子フレームをなすこと、さらにテンソル積の $\ast$-フレーム作用素が個々の $\ast$-フレーム作用素のテンソル積に等しいことを証明する。

ABSTRACT

In this paper, a new notion of frames is introduced: $\ast$-operator frame as generalization of $\ast$-frames in Hilbert $C^{\ast}$-modules introduced by A. Alijani and M. A. Dehghan \cite{Ali} and we establish some results.

研究の動機と目的

• ヒルベルト $C^\ast$-加群における $\ast$-フレームの概念を、随伴可能演算子を用いて $\ast$-演算子フレームとして一般化すること。
• $End_{\mathcal{A}}^{\ast}(\mathcal{H})$ の文脈において、$\ast$-演算子フレーム変換および $\ast$-フレーム作用素を定義すること。
• ヒルベルト $C^\ast$-加群のテンソル積における $\ast$-演算子フレームの挙動を調査すること。
• $\ast$-演算子フレームのテンソル積が、テンソル積加群における $\ast$-演算子フレームをなすことの確立。
• テンソル積フレームの $\ast$-フレーム作用素が、個々の $\ast$-フレーム作用素のテンソル積に等しいことを証明すること。

提案手法

• $\mathcal{H}$ 上の $End_{\mathcal{A}}^{\ast}(\mathcal{H})$ に属する族 $\{\Lambda_i\}_{i\in I}$ として $\ast$-演算子フレームを定義し、すべての $x \in \mathcal{H}$ に対して $A\langle x,x\rangle_{\mathcal{A}}A^* \leq \sum_{i\in I} \langle \Lambda_i x, \Lambda_i x \rangle_{\mathcal{A}} \leq B\langle x,x\rangle_{\mathcal{A}}B^*$ を満たすものとし、$A, B \in \mathcal{A}^+$ は正の非ゼロ元とする。
• $\ast$-フレーム作用素 $S = \sum_{i\in I} \Lambda_i^* \Lambda_i$ を、$\mathcal{H}$ 上の正で可逆な随伴可能作用素として定義する。
• ヒルベルト $C^\ast$-加群 $\mathcal{H}$ と $\mathcal{K}$ のテンソル積を構成し、標準的な内積構造を備えて $\mathcal{H} \otimes \mathcal{K}$ を形成する。
• 演算子のテンソル積 $\Lambda_i \otimes \Gamma_j$ を定義し、$\{\Lambda_i\}$ と $\{\Gamma_j\}$ がそれぞれ $\mathcal{H}$ と $\mathcal{K}$ における $\ast$-演算子フレームであれば、$\{\Lambda_i \otimes \Gamma_j\}$ が $\mathcal{H} \otimes \mathcal{K}$ における $\ast$-演算子フレームをなすことの証明。
• テンソル積フレームの $\ast$-フレーム作用素が $S_{\Lambda \otimes \Gamma} = S_\Lambda \otimes S_\Gamma$ に等しいことを証明する。
• $End_{\mathcal{A}}^{\ast}(\mathcal{H})$ に属する $Q$ の可逆性を応用し、$\Lambda_i(Q^* \otimes I)$ を通じて既存の $\ast$-演算子フレームを変換する。変換後の族が、境界と作用素が変更された $\ast$-演算子フレームのまま保たれることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルト $C^\ast$-加群における $\ast$-フレームの概念を、随伴可能演算子を含む形に一般化するにはどうすればよいか？
• RQ2 2つの $\ast$-演算子フレームのテンソル積が、テンソル積加群における $\ast$-演算子フレームをなすための条件は何か？
• RQ3 テンソル積フレームの $\ast$-フレーム作用素は、個々のフレームの $\ast$-フレーム作用素とどのように関係しているか？
• RQ4 可逆な随伴可能作用素が $\ast$-演算子フレームに作用した場合、フレーム境界と作用素構造はどのように変化するか？
• RQ5 テンソル積フレームの $\ast$-フレーム作用素は、個々の $\ast$-フレーム作用素のテンソル積として表現できるか？

主な発見

• ヒルベルト $C^\ast$-加群 $\mathcal{H}$ と $\mathcal{K}$ における2つの $\ast$-演算子フレームのテンソル積は、テンソル積加群 $\mathcal{H} \otimes \mathcal{K}$ における $\ast$-演算子フレームをなす。
• テンソル積フレームの $\ast$-フレーム作用素は、個々の $\ast$-フレーム作用素のテンソル積に等しい：$S_{\Lambda \otimes \Gamma} = S_\Lambda \otimes S_\Gamma$。
• 可逆作用素 $Q \in End_{\mathcal{A}}^{\ast}(\mathcal{H})$ を $\Lambda_i(Q^* \otimes I)$ を通じて適用すると、変換後の族は、下限と上限がそれぞれ $\|Q^{*-1}\|^{-1}$ と $\|Q\|$ にスケーリングされた $\ast$-演算子フレームのまま保たれる。
• 変換フレームの $\ast$-フレーム作用素は $S' = (Q \otimes I)S(Q^* \otimes I)$ で与えられ、このような変換においてもフレーム構造が保存される。
• 同様の結果が、第二因子に可逆作用素を適用した場合にも成り立つ：$\Lambda_i(I \otimes Q^*)$ を適用すると、$\ast$-フレーム作用素が $S' = (I \otimes Q)S(I \otimes Q^*)$ となる $\ast$-演算子フレームが得られる。
• これらの結果は、[8] の定理3.5を $End_{\mathcal{A}}^{\ast}(\mathcal{H})$ 上の $\ast$-演算子フレームの設定に一般化する。