[論文レビュー] Asymptotic Behavior of Local Particles Numbers in Branching Random Walk

E. Vl. Bulinskaya|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、任意の初期位置におけるZ^d上での臨界的触媒反応拡散過程における平均局所粒子数および生存確率の漸近的挙動を確立する。6種類の粒子型を有する補助的ベルマン＝ハリス過程を構築し、禁忌付き到達時刻を分析することにより、次元に依存する極限定理を導出する。これには、原点以外の位置における粒子数のヤグロム型条件付き極限定理が含まれ、d = 1からd ≥ 5までの間で異なる減衰率を示す。

ABSTRACT

Critical catalytic branching random walk on d-dimensional integer lattice is investigated for all d. The branching may occur at the origin only and the start point is arbitrary. The asymptotic behavior, as time grows to infinity, is determined for the mean local particles numbers. The same problem is solved for the probability of particles presence at a fixed lattice point. Moreover, the Yaglom type limit theorem is established for the local number of particles. Our analysis involves construction of an auxiliary Bellman-Harris branching process with six types of particles. The proofs employ the asymptotic properties of the (improper) c.d.f. of hitting times with taboo. The latter notion was recently introduced by the author for a non-branching random walk on an integer lattice.

研究の動機と目的

• Z^d上での臨界的触媒反応分岐ランダムウォークにおいて、固定された格子点y ≠ 0における粒子数の漸近的平均値を特定すること。
• 固定された地点y ≠ 0における粒子存在確率の漸近的挙動を分析すること。
• 固定された地点y ≠ 0における適切に正規化された粒子数の条件付き極限定理を確立すること、ただし非空であることを条件として。
• 従来の結果（原点に限られていた）を任意の初期位置および原点以外の位置に拡張すること。
• 全次元d ∈ ℕにおける漸近的挙動を統一するため、6種類の粒子型を有する新規の補助的ベルマン＝ハリス過程を用いること。

提案手法

• 分岐および移動ダイナミクスをモデル化するため、6種類の粒子型を有する補助的ベルマン＝ハリス分岐過程を構築する。
• 著者によって最近導入された「禁忌付き到達時刻」の概念を用いて、初回通過挙動を分析する。
• 禁忌付き到達時刻の不完全な累積分布関数を用いて、漸近的性質を導出する。
• コルモゴロフの方程式およびグリーン関数Gλ(x,y)を用いて、遷移確率および平均粒子数を特徴付ける。
• 生存確率および条件付き分布を分析するため、生成関数q(s,t;x,y) = 1 − Ex[s^μ(t;y)]の積分方程式を導出する。
• タウバー型定理およびラプラス変換技法を用いて漸近的解析を行い、極限定理を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 臨界的触媒反応分岐ランダムウォークにおいて、時間t → ∞のとき、固定された地点y ≠ 0における粒子数の平均値はどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ2 時間tにおける固定された地点y ≠ 0に粒子が存在する確率の漸近的減衰率は何か？
• RQ3 時間t → ∞のとき、少なくとも1つの粒子が存在するという条件下で、固定された地点y ≠ 0における粒子数の条件付き極限定分布は何か？
• RQ4 原点と非原点の地点における漸近的挙動の違いは何か、また次元dにどのように依存するか？
• RQ5 初期位置x ∈ Z^dは、局所粒子数の長期的挙動を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• d = 1の場合、y ≠ 0における粒子数の平均値は∼γ₁/√tに漸近し、生存確率は∼2(1−α)/(σ²γ₁a√t ln t)に漸近する。
• d = 2の場合、y ≠ 0における粒子数の平均値は∼γ₂/tに漸近し、生存確率は∼γ₂/t(1 − a/(1−α)J(0;y))に漸近する（y ≠ 0）。
• d = 3の場合、y ≠ 0における粒子数の平均値は∼G₀(x,0)G₀(0,y)/(2πγ₃√t)に漸近し、生存確率は∼4πγ₃(1−α)G₀(x,0)/(σ²aG₃₀(0,0)√t ln t)に漸近する。
• d = 4の場合、y ≠ 0における粒子数の平均値は∼G₀(x,0)G₀(0,y)/(γ₄ ln t)に漸近し、生存確率は∼3γ₄(1−α)G₀(x,0) ln t/(σ²aG₃₀(0,0)t)に漸近する。
• d ≥ 5の場合、y ≠ 0における粒子数の平均値は有限極限(1−α)G₀(x,0)G₀(0,y)/(aG²₀(0,0)md)に収束し、生存確率は∼2mdG₀(x,0)/(σ²G₀(0,0)t)に漸近する。
• ヤグロム型条件付き極限定理が確立された：μ(t;y) > 0を条件としたとき、ln²t μ(t;y)/(c*t)のラプラス変換は、ϕ(λ) = 2/(3λ + 2)を用いて1 − 3/2 ∫₀^λ ϕ²(w)dwに収束する。これはd = 4およびx = 0のとき成立する。