[論文レビュー] Asymptotic behavior of orthogonal polynomials without the Carleman condition

D. R. Yafaev|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2019

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 20被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、Carleman 条件 $ \sum a_n^{-1} = \infty $ が満たされない、すなわち $ \sum a_n^{-1} < \infty $ である場合の、Jacobi 行列と関連する直交多項式 $ P_n(z) $ の漸近公式を確立する。$ -b_n / (2\sqrt{a_{n-1}a_n}) \to \beta_\infty $ で $ |\beta_\infty| \neq 1 $ であると仮定したとき、古典的 Carleman 系の場合とは著しく異なる漸近的挙動を示す：$ |\beta_\infty| < 1 $ の場合、位相は $ \sum \arccos \beta_m $ に依存するが、$ |\beta_\infty| > 1 $ の場合、$ \sum \operatorname{arccosh} |\beta_m| $ を通じて指数関数的に増大する。これらの結果により、最小 Jacobi 確率作用素の本質的自己共役性の必要十分条件が得られる。

ABSTRACT

Our goal is to find an asymptotic behavior as $n\ o\\infty$ of orthogonal polynomials $P_{n}(z)$ defined by the Jacobi recurrence coefficients $a_{n}, b_{n}$. We suppose that the off-diagonal coefficients $a_{n}$ grow so rapidly that the series $\\sum a_{n}^{-1}$ converges, that is, the Carleman condition is violated. With respect to diagonal coefficients $b_{n}$ we assume that $-b_{n} (a_{n}a_{n-1})^{-1/2}\ o 2\\beta_{\\infty}$ for some $\\beta_{\\infty}\ eq \\pm 1$. The asymptotic formulas obtained for $P_{n}(z)$ are quite different from the case $\\sum a_{n}^{-1}=\\infty$ when the Carleman condition is satisfied. In particular, if $\\sum a_{n}^{-1}&lt;\\infty$, then the phase factors in these formulas do not depend on the spectral parameter $z\\in{\\Bbb C}$. The asymptotic formulas obtained in the cases $|\\beta_{\\infty}|&lt;1 $ and $|\\beta_{\\infty}|&gt;1 $ are also qualitatively different from each other. As an application of these results, we find necessary and sufficient conditions for the essential self-adjointness of the corresponding minimal Jacobi operator.

研究の動機と目的

• Carleman 条件 $ \sum a_n^{-1} = \infty $ が成立しない場合、すなわち $ \sum a_n^{-1} < \infty $ のとき、Jacobi 再帰係数 $ a_n, b_n $ で定義される直交多項式 $ P_n(z) $ の漸近的挙動を分析すること。
• 非 Carleman 系において、特に $ |\beta_\infty| < 1 $ と $ |\beta_\infty| > 1 $ の場合に分けること、ここで $ \beta_\infty = \lim -b_n / (2\sqrt{a_{n-1}a_n}) $ である。この状況下で、$ P_n(z) $ の明示的な漸近公式を導出すること。
• Carleman 条件が成立しない非 Carleman 環境における最小 Jacobi 作用素の本質的自己共役性の必要十分条件を特定すること。

提案手法

• 2×2 行列の積として Jacobi 再帰の解を表現するための伝送行列法の使用。
• Jacobi 差分方程式 $ a_{n-1}F_{n-1} + b_n F_n + a_n F_{n+1} = zF_n $ の解の漸近的挙動の分析。$ \beta_\infty $ に応じて場合分けを行う。
• $ |\beta_\infty| < 1 $ の場合の位相関数 $ \phi_n = \sum_{m=0}^{n-1} \arccos \beta_m $ と、$ |\beta_\infty| > 1 $ の場合の $ \varphi_n = \sum_{m=0}^{n-1} \operatorname{arccosh} |\beta_m| $ の導入により、振動的および指数的増大の挙動を捉える。
• $ \ell^1({\mathbb{Z}}_+) $ における漸近級数と剰余項の推定を用いて Jost 型解を構成し、解析性および減衰・増大の性質を保証する。
• スペクトル理論を応用し、$ P_n(z) $ の漸近的挙動と Jacobi 作用素のリゾルベントおよびスペクトル測度との関係を結ぶ。
• Nevanlinna の公式を用いてリゾルベントと直交多項式を関連付け、$ |\beta_\infty| < 1 $ の場合におけるスペクトルの離散性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Carleman 条件 $ \sum a_n^{-1} = \infty $ が満たされない、すなわち $ \sum a_n^{-1} < \infty $ の場合、直交多項式 $ P_n(z) $ の漸近的挙動はどのように振る舞うか？
• RQ2 特に $ \ell^2 $-可積分性と振動的挙動に関して、非 Carleman 系において Jacobi 差分方程式の解空間の構造はどのようなものか？
• RQ3 $ \beta_\infty = \lim -b_n / (2\sqrt{a_{n-1}a_n}) $ において $ |\beta_\infty| < 1 $ と $ |\beta_\infty| > 1 $ の場合の $ P_n(z) $ の漸近的挙動は、質的にどのように異なるか？
• RQ4 Carleman 条件が成立しない場合、最小 Jacobi 作用素の本質的自己共役性の必要十分条件は何か？
• RQ5 スペクトル特性、特にスペクトルの性質とリゾルベントの挙動は、Carleman 系と非 Carleman 系の間でどのように異なるか？

主な発見

• $ |\beta_\infty| < 1 $ の場合、Jacobi 方程式のすべての解 $ F_n(z) $ は、$ n \to \infty $ のとき $ F_n(z) = a_n^{-1/2} \big( k_+ e^{-i\phi_n} + k_- e^{i\phi_n} + o(1) \big) $ を満たし、ここで $ \phi_n = \sum_{m=0}^{n-1} \arccos \beta_m $ であり、振幅因子 $ a_n^{-1/2} $ のため、すべての解が $ \ell^2({\mathbb{Z}}_+) $ に属する。
• $ |\beta_\infty| > 1 $ の場合、直交多項式は $ P_n(z) = \mathsf{k}(z) a_n^{-1/2} (\operatorname{sgn} \beta_\infty)^n e^{\varphi_n} (1 + o(1)) $ を満たし、ここで $ \varphi_n = \sum_{m=0}^{n-1} \operatorname{arccosh} |\beta_m| $ であり、振幅の指数的増大を示唆する。
• 漸近公式は位相においてスペクトルパラメータ $ z \in \mathbb{C} $ に依存しない。つまり、振動的または指数的構造は $ z $ に依存せず普遍的であり、係数 $ k_\pm(z) $、$ \mathsf{k}(z) $ のみが $ z $ に依存する。
• $ |\beta_\infty| > 1 $ の場合、Jost 解 $ f_n(z) $ は整関数であり、$ e^{-\varphi_n - z\psi_n} $ のように減衰するため、Jacobi 作用素のスペクトルは離散的である。
• Jacobi 作用素のリゾルベントは分母 $ \Omega(z) $ によって決定され、これは固有値でのみ 0 になる。$ |\beta_\infty| < 1 $ の場合、すべての自己共役拡張においてスペクトル測度は離散的である。
• 最小 Jacobi 作用素が本質的自己共役であるための必要十分条件は、$ \sum_{n=0}^\infty \big| \frac{b_n}{a_n} \big| < \infty $ であり、これは非 Carleman 系において導出された必要十分条件である。