[論文レビュー] Asymptotic behavior of supercuspidal representations and Sato-Tate equidistribution for families

Ju-Lee Kim, Sug Woo Shin+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 48被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、有限個の素数における超臨界表現の形式的次数が増加するような自動形式表現の族に対して、極限多重度性質を確立する。非中心の半単純元上で、これらの表現の行列係数の軌道積分が一様にゼロに収束することを証明することで、ヘッケ固有値のサトウ-タステー分布を導出し、所定の局所的成分をもつ自動形式表現の数に対する定量的漸近公式を提供する。

ABSTRACT

We establish properties of families of automorphic representations as we vary prescribed supercuspidal representations at a given finite set of primes. For the tame supercuspidals constructed by J.-K. Yu we prove the limit multiplicity property with error terms. Thereby we obtain a Sato-Tate equidistribution for the Hecke eigenvalues of these families. The main new ingredient is to show that the orbital integrals of matrix coefficients of tame supercuspidal representations with increasing formal degree on a connected reductive $p$-adic group tend to zero uniformly for every noncentral semisimple element.

研究の動機と目的

• 固定された場所における超臨界型の形式的次数が増加する族における自動形式表現の漸近的分布を理解すること。
• スペクトル多重度をトレース公式の技法により制御することで、古典的結果を精緻化する、このような族における極限多重度性質を確立すること。
• これらの族におけるヘッケ固有値のサトウ-タステー分布を証明し、表現論的減衰と算術的等分布を結びつけること。
• 形式的次数とL-パックのサイズを用いて、自動形式多重度の正確な漸近的成長率を特定すること。
• 有限個の場所でシュタインバーグまたは超臨界成分をもつ族に、明示的な誤差項を含めた等分布結果を拡張すること。

提案手法

• J.-K. ユーの「たぬき」超臨界表現の構成を用いて、行列係数と形式的次数の明示的制御を保証すること。
• 非中心の半単純元上で、超臨界表現の擬似係数の軌道積分を分析し、形式的次数が増加するにつれて一様にゼロに収束することを示すこと。
• 適切に選んだテスト関数を用いたトレース公式を応用し、スペクトル多重度を幾何的項に関連付けること。
• 単純トレース公式とスペクトル射影を用いて、離散系列および$L$-パックからの寄与を分離すること。
• タマガワ数およびゼータ要因の補正を組み込むことで、誤差項を含む正確な漸近公式を導出すること。
• 誤差項を伴うプランシュレ等分布定理を用いて、族におけるヘッケ固有値の等分布を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された素数における局所的超臨界型の形式的次数が増加するとき、自動形式表現の多重度はどのように増加するか？
• RQ2 このような族における自動形式のヘッケ固有値は、サトウ-タステー測度に等分布するか？
• RQ3 固定されたアーキメデス型と有限個の場所における増加する超臨界型をもつ自動形式表現の数に対する正確な漸近公式は何か？
• RQ4 所定の超臨界成分をもつ族の文脈において、極限多重度性質を明示的な誤差項を含めて強化できるか？
• RQ5 有限個の場所にシュタインバーグまたは超臨界成分が存在する場合、自動形式の漸近的分布にどのような影響を与えるか？

主な発見

• 「たぬき」超臨界表現の行列係数の軌道積分は、形式的次数が増加するにつれて、非中心の半単純元上で一様にゼロに収束する。
• 明示的な誤差項を含む極限多重度公式が成り立つ：$ \lim_{j\to\infty} \frac{m(\xi,\sigma_j)}{\deg(\sigma_j)} = c |\Pi_{\infty}(\xi)| \dim \xi $、ここで $ c $ はタマガワ数に関連する正の定数である。
• PGL(2) に対して、重さ $ k $ およびレベル $ \Gamma_0(q^3) $ の新形式の漸近的多重度は $ \frac{k-1}{12}(q+1)(q-1)^2 $ に一致し、$ q \to \infty $ の極限における極限多重度が確認される。
• 漸近公式の誤差項は $ O(1) $ であり、$ \mathrm{PGL}(2) $ において以前の $ O((kq_S)^{2/3}) $ の境界を改善している。
• 十分に大きな残差体の位数をもつ条件下で、超臨界型が増加する族において、ヘッケ固有値のサトウ-タステー等分布が確立される。
• ス latter 簡単な群に対しては、固定されたアーキメデス型、有限個の場所でシュタインバーグ、それ以外では非分岐なカスプ自動形式表現が存在する。