[論文レビュー] Asymptotic behavior of the Laplacian quasi-maximum likelihood estimator of affine causal processes

Jean‐Marc Bardet, Yakoub Boularouk+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2016

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 22被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、ARMA、GARCH、APARCH、およびそれらのハイブリッドを含む広範なアフィン因果時系列のクラスに対して、ラプラス型準最大化尤度推定量（QMLE）の強一貫性および漸近正規性を確立する。最小二乗法の代わりに絶対偏差の最小化により、重い尾を持つ独立項や外れ値に対してロバストである。一貫性には1階モーメント（r=1）のみ、漸近正規性には2階モーメント（r=2）が必要であり、従来のガウス型QMLEが推論に4階モーメントを要するのと比較して、より低いモーメント要件を満たす。

ABSTRACT

We prove the consistency and asymptotic normality of the Laplacian Quasi-Maximum Likelihood Estimator (QMLE) for a general class of causal time series including ARMA, AR($\\infty$), GARCH, ARCH($\\infty$), ARMA-GARCH, APARCH, ARMA-APARCH,..., processes. We notably exhibit the advantages (moment order and robustness) of this estimator compared to the classical Gaussian QMLE. Numerical simulations confirms the accuracy of this estimator.

研究の動機と目的

• 一般クラスのアフィン因果時系列（ARMA、GARCH、およびそれらのハイブリッドを含む）におけるラプラス型QMLEの漸近的性質を確立すること。
• ガウス型QMLE（r=2）と比較して、ラプラス型QMLEがより弱いモーメント条件（r=1）のもとで強一貫性を達成すること、およびr=2のもとで漸近正規性を示すこと、ガウス型QMLEがr=4を要するのと対照的であることを示すこと。
• ラプラス型QMLEが、重い尾を持つ独立項や外れ値に対して、従来のガウス型QMLEよりもよりロバストであることを示すこと。
• 因果確率過程の文脈において、LADおよび非ガウス型QMLE推定量に関する既存の結果を統一的かつ一般化された枠組みで統合・拡張すること。

提案手法

• 本稿は、時系列を独立同一分布の独立項をもつ確率的再帰方程式（1.1）の因果的解としてモデル化する。
• ラプラス型QMLEは、絶対偏差の最小化により定義される：∑ₜ Mₜ⁻¹ |Xₜ − fₜ|。これは、ガウス型QMLEで用いられる古典的な最小二乗対照の代わりである。
• 理論的分析は、DoukhanとWintenberger（2007）およびBardetとWintenberger（2009）が確立した因果定常過程の枠組みに依拠しており、エルゴドゥイティおよびミキシング条件を保証する。
• 条件付き平均および分散関数に関する正則性条件のもとで、マルティングル・差分中心極限定理および一様可積分性の議論を用いて、一貫性および漸近正規性を証明する。
• ARMA-GARCHおよびAPARCHモデルにおける多項式表現の一意性により、パラメータの同定が確立され、パラメータの推定可能性が保証される。
• 数値シミュレーションを通じて、ガウス分布、ラプラス分布、および汚染混合分布を含むさまざまな分布下での有限標本性能を、ラプラス型QMLEとガウス型QMLEとで比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラプラス型QMLEは、アフィン因果時系列において、ガウス型QMLEと比較してより弱いモーメント条件のもとで強一貫性を達成するか？
• RQ2 ラプラス型QMLEは、4階モーメントではなく2階モーメントの仮定のもとで漸近正規性を示すか？
• RQ3 重い尾を持つ独立項や外れ値が存在する状況において、ラプラス型QMLEはガウス型QMLEと比較してどのように性能を発揮するか？
• RQ4 ARMA、GARCH、APARCH、およびそれらの組み合わせのような多様なモデルに、ラプラス型QMLEを一様に適用できる一貫した理論的枠組みが構築可能か？

主な発見

• ラプラス型QMLEは、E[|ζ₀|] < ∞（r=1）の仮定のもとで強一貫性を示す。これは、ガウス型QMLEが一貫性を達成するためにr≥2を要するのと比較して、顕著な改善である。
• ラプラス型QMLEの漸近正規性は、E[|ζ₀|²] < ∞（r=2）のもとで成立するが、ガウス型QMLEはE[|ζ₀|⁴] < ∞（r=4）を要するため、重い尾を持つデータに対してよりロバストである。
• 数値的シミュレーションにより、非ガウス型独立項、特にラプラス分布または汚染混合ガウス分布下では、ラプラス型QMLEが推定精度においてガウス型QMLEを上回ることが確認された。
• 外れ値に対してラプラス型QMLEはロバストであることが、重い尾や汚染されたデータを模倣するガウス混合分布を用いたシミュレーションで、優れた性能を示すことで裏付けられた。
• 本稿は、ARMA-GARCH、ARMA-APARCH、ARMA-ARCH(∞)、および類似過程の全般にわたる、ラプラス型QMLEの最初の統一的漸近理論を確立した。