[論文レビュー] Asymptotic behaviour of randomised fractional volatility models

Blanka Horvath, Antoine Jacquier+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 62被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、Hurstenパラメータ $ H \in (0,1) $ を持つ自己回帰的ブラウン運動によって駆動される確率的分数勾配モデルの漸近的挙動を調査し、大偏差原理を拡張してインプライド・ボラティリティの小時間および尾部挙動を分析する。主な貢献は、確率的初期ボラティリティの尾部分布が、特に粗いボラティリティモデルにおけるインプライド・ボラティリティの爆発速度にどのように影響するかを定量的に特定することにある。

ABSTRACT

We study the asymptotic behaviour of a class of small-noise diffusions driven by fractional Brownian motion, with random starting points. Different scalings allow for different asymptotic properties of the process (small-time and tail behaviours in particular). In order to do so, we extend some results on sample path large deviations for such diffusions. As an application, we show how these results characterise the small-time and tail estimates of the implied volatility for rough volatility models, recently proposed in mathematical finance.

研究の動機と目的

• 粗い確率的ボラティリティモデルにおける初期ボラティリティの確率的変動がインプライド・ボラティリティダイナミクスに与える影響を理解すること。
• 初期状態が確率的である分数ブラウン運動によって駆動される拡散過程に対するサンプルパス大偏差理論を拡張すること。
• 近年の市場データに関連する $ H \in (0,1/2) $ のモデルにおけるインプライド・ボラティリティの小時間および重尾挙動を特徴付けること。
• 初期ボラティリティ分布の尾部挙動と、短期満期におけるインプライド・ボラティリティスマイルの傾きとの間の理論的関係を確立すること。
• 粗いボラティリティ設定下におけるフォワード・スターター・オプションおよびボラティリティ・サーフェスモデリングのための厳密な漸近的フレームワークを提供すること。

提案手法

• 小ノイズ拡散過程に対するFreidlin-Wentzell型の大偏差原理を、初期状態が確率的である分数ブラウン運動によって駆動されるものに拡張する。
• 縮約原理と経路ごとのスケーリング技術を適用し、初期分布 $ \zeta $ が確率的であるプロセス $ X^{\varepsilon, \zeta} $ に対する大偏差原理を導出する。
• 分数SDEに関連する制御問題から導出されたレート関数 $ I $ を用いて、レアイベントの確率を定量化する。
• Millet, Nualart, and Sanz (2005) の確率的環境拡散に関する結果を用い、仮定3.4の下で大偏差原理の正当化を図る。
• スケーリング極限 $ \varepsilon^{2b}X_t \sim \text{LDP}(\varepsilon^{2b}, \widetilde{\Lambda}) $ を用いて、尾部および小時間挙動を分析する。
• 縮約原理および指数的レート関数による確率の上界・下界を用いて、漸近的推定を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期ボラティリティ分布の尾部挙動は、粗いボラティリティモデルにおけるインプライド・ボラティリティの爆発速度にどのように影響するか？
• RQ2 ボラティリティ過程が $ H \in (0,1) $ を持つ分数ブラウン運動によって駆動される場合、インプライド・ボラティリティの小時間漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ3 大偏差原理を初期条件が確率的で、分数ノイズを有する拡散過程に拡張できるか？
• RQ4 初期ボラティリティの確率的化は、固定初期値と比較して、短期間のインプライド・ボラティリティスマイルの急峻さをどのように改善するか？
• RQ5 初期ボラティリティ分布のスケーリングと、フォワード・スターター・オプション価格の漸近的挙動との間の明確な関係は何か？

主な発見

• インプライド・ボラティリティの短期満期における爆発速度は、初期ボラティリティ分布の尾部の厚さに直接的に依存しており、尾部がより重いほど爆発が速くなる。
• $ H \in (0,1/2) $ の場合、インプライド・ボラティリティの小時間漸近的挙動は速度 $ \varepsilon^{2} $ の大偏差原理に従い、尾部確率に $ t^{2H+b} $ のスケーリングが現れる。
• 初期ボラティリティが重尾分布を取る場合、インプライド・ボラティリティサーフェスのスマイルはより急峻になる。これは、下流プロセスのジャンプがなくても、急峻なスマイルを生成可能であることを確認する。
• プロセス $ X^{\varepsilon, \zeta} $ に対する大偏差原理は速度 $ \varepsilon^2 $ および制御問題に関連する良好なレート関数 $ I $ で成立する。
• $ \varepsilon \to 0 $ の極限において、尾部確率 $ \mathbb{P}(X_t \geq k) $ は $ -\inf_{y \geq 1} \widetilde{\Lambda}(\phi) $ のレートで指数的に減少する。ここで $ \widetilde{\Lambda} $ はスケーリングされた生成子のLegendre変換である。
• 結果は、確率的化された粗いボラティリティモデルがフォワード・スターター・オプションの理論的フレームワークを一貫して提供し、実証的に観察される急峻なボラティリティスマイルの持続性を説明可能であることを裏付ける。