[論文レビュー] Asymptotic Dimension of Minor-Closed Families and Assouad-Nagata Dimension of Surfaces

Marthe Bonamy, Nicolás Bousquet+5 more|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2020

Topological and Geometric Data Analysis被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、任意の適切なマイナー閉じたグラフ族が漸近次元 2 以下であることを確立し、Fujiwara と Papasoglu が提起した長年の未解決問題を解決するとともに、Ostrovskii と Rosenthal のマイナー除外群に関する問題を強力な形に拡張する。さらに、有界階層付き木幅と多項式成長をもつグラフに対して、新しいグラフ論的技法を用いて、完全なリーマン面のアッサウド＝ナガタ次元が 2 以下であることを示す。

ABSTRACT

The asymptotic dimension is an invariant of metric spaces introduced by Gromov in the context of geometric group theory. In this paper, we study the asymptotic dimension of metric spaces generated by graphs and their shortest path metric and show their applications to some continuous spaces. The asymptotic dimension of such graph metrics can be seen as a large scale generalisation of weak diameter network decomposition which has been extensively studied in computer science. We prove that every proper minor-closed family of graphs has asymptotic dimension at most 2, which gives optimal answers to a question of Fujiwara and Papasoglu and (in a strong form) to a problem raised by Ostrovskii and Rosenthal on minor excluded groups. For some special minor-closed families, such as the class of graphs embeddable in a surface of bounded Euler genus, we prove a stronger result and apply this to show that complete Riemannian surfaces have Assouad-Nagata dimension at most 2. Furthermore, our techniques allow us to prove optimal results for the asymptotic dimension of graphs of bounded layered treewidth and graphs of polynomial growth, which are graph classes that are defined by purely combinatorial notions and properly contain graph classes with some natural topological and geometric flavours.

研究の動機と目的

• 幾何的群論と粗幾何における未解決問題を解消するために、適切なマイナー閉じたグラフ族の漸近次元を特定すること。
• 表面埋め込みから導かれるグラフ距離を活用して、完全なリーマン面のアッサウド＝ナガタ次元を確立すること。
• 階層付き木幅や成長率といった組合せ的パラメータによって定義されるグラフクラスに、制御関数の技法を拡張すること。
• 弱直径ネットワーク分解に関する先行結果を強化し、広範なグラフクラスに対して最適な漸近次元の境界を証明すること。
• 単調グラフ族における拡張性、漸近次元、および分離定理の関係を調査すること。

提案手法

• 制御関数を用いて、$ r $-非密着かつ $ D(r) $-有界な被覆の概念を導入し、漸近次元を定義する。
• マイナー理論と構造的分解技法を応用して、マイナー閉じた族の漸近次元を評価する。
• 連続的なリーマン面と有界オイラー付加性を持つグラフの埋め込みを結ぶ離散化手法を導入する。
• 階層付き木幅と成長率の制約を用いて、グラフクラス全体にわたる漸近次元の均一な境界を導出する。
• 弱直径ネットワーク分解とマイナー除外に関する結果を活用して、次元境界を証明する。
• arXiv マanuscripts [10, 30] の先行結果を強化し、表面埋め込み可能なグラフの場合に、次元境界をアッサウド＝ナガタ次元にまで向上させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の適切なマイナー閉じたグラフ族の漸近次元は何か？
• RQ2 有界階層付き木幅または多項式成長をもつグラフの漸近次元は、一様に有界とできるか？
• RQ3 任意の完全なリーマン面はアッサウド＝ナガタ次元 2 以下であるか？
• RQ4 任意の固定された $ H $ と $ q $ に対して、$ q $-ファット $ H $-マイナーを除外するグラフ族の漸近次元に一様な境界が存在するか？
• RQ5 有界漸近次元をもつ単調グラフ族は、必然的に多項式拡張性をもつのか？

主な発見

• 任意の適切なマイナー閉じたグラフ族は漸近次元 2 以下であり、これは最適であり、Fujiwara と Papasoglu が提起した問題を解決する。
• 有界オイラー付加性をもつ表面に埋め込めるグラフの族は漸近次元 2 以下であり、これにより完全なリーマン面のアッサウド＝ナガタ次元が 2 以下であると結論づけられる。
• 有界階層付き木幅をもつグラフは漸近次元 2 以下であり、重要な技術的補題において、以前の境界 12 を 1 に改善する。
• 多項式成長率をもつグラフは有界漸近次元をもち、境界は鋭い：成長が $ 3r+1 $ よりも遅い場合、次元は 1 に低下する。
• David Wood の予想に対して否定的な答えを提供する：漸近次元 1 だが超多項式拡張性をもつ単調グラフ族が存在する。
• $ q $-ファット $ K_{2,p} $-マイナーを含まないグラフの族は、任意の $ p, q $ に対して漸近次元 1 以下であり、次元に強い構造的制約が存在することを示す。