[論文レビュー] Asymptotic estimates for phi functions for subsets of {m+1, m+2,...,n}

Melvyn B. Nathanson, Brooke Orosz|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2007

Analytic Number Theory Research参考文献 1被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、区間 {m+1, ..., n} 内の互いに素な部分集合および n と最大公約数が互いに素である部分集合を数える4つの組合せ関数について、明示的な公式と漸近的推定値を提供する。ムビウスの包摂と組合せ恒等式を用いて、f(m,n)、fₖ(m,n)、Φ(m,n)、Φₖ(m,n) の正確な表現ときめ細かい誤差境界を導出する。ナザンソンのファイ関数を、対称性と精度の向上を図るために、{1,…,n} から {m+1,…,n} に拡張する。

ABSTRACT

Let f(m,n) denote the number of relatively prime subsets of {m+1,m+2,...,n}, and let Phi(m,n) denote the number of subsets A of {m+1,m+2,...,n} such that gcd(A) is relatively prime to n. Let f_k(m,n) and Phi_k(m,n) be the analogous counting functions restricted to sets of cardinality k. Simple explicit formulas and asymptotic estimates are obtained for these four functions.

研究の動機と目的

• ナザンソンのファイ関数（{1,…,n} における互いに素な部分集合および最大公約数が n と互いに素である部分集合の数え上げ）を、{m+1,…,n} にシフトした区間へ拡張し、対称性と明確性を向上させること。
• ムビウスの包摂と包含除算法則を用いて、f(m,n)、fₖ(m,n)、Φ(m,n)、Φₖ(m,n) の4つの関数について、正確な閉形式表現を導出すること。
• 各関数についてきめ細かい漸近的誤差境界を確立し、区間内の全部分集合または k 要素部分集合の数からのずれを定量化すること。
• エル・バクラウイの先行結果を一般化し、関数の定義を m ではなく m+1 から開始することで、より洗練され対称性の高い公式を得ること。
• n が大きい場合や m が変化する場合に有効な定量的推定を提供し、特に n の最小素因数に依存する主要な境界に明示的な依存関係を示すこと。

提案手法

• 共通の因数を持つ集合の包含除算法則を用いて、f(m,n) を ∑_{d=1}^n μ(d) (2^{[n/d]−[m/d]} − 1) として表現する。
• 二項係数に関する組合せ恒等式を用いて、fₖ(m,n) = ∑_{d=1}^n μ(d) ⎛⎜[n/d]−[m/d]⎞⎟, k として導出する。これは k 要素部分集合がスケーリングされた区間と関係することを示す。
• Φ(m,n) については、n の因数 d に制限して和をとる。gcd(A) が n と互いに素であるという条件を用い、Φ(m,n) = ∑_{d|n} μ(d) 2^{(n/d)−[m/d]} を導出する。
• k 要素部分集合への一般化は、Φₖ(m,n) = ∑_{d|n} μ(d) ⎛⎜n/d − [m/d]⎞⎟, k を用いて行い、因数と互いに素な部分集合に対するムビウスの包摂を適用する。
• 偶数や n の最小素因数 p* の倍数である部分集合が除外されることを根拠に、誤差の上界と下界を確立する。
• 不等式 [x] − [y] ≤ [x−y] + 1 を用いて、誤差項を [(n−m)/3] や [(n−m)/(p*+1)] の関数として評価し、主要項に対して指数的成長を示さないよう保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 区間 {m+1, ..., n} 内の互いに素な部分集合の正確な数は何か？ また、空でない部分集合の総数からのずれはどの程度か？
• RQ2 区間 {m+1, ..., n} 内の k 要素互いに素な部分集合の数は、閉形式でどのように表せるか？ また、二項係数による近似の誤差はどの程度か？
• RQ3 gcd(A) が n と互いに素であるような A ⊆ {m+1, ..., n} の部分集合の数は何か？ また、全部分集合の数とはどのように関係するか？
• RQ4 gcd が n と互いに素である k 要素部分集合の数は、二項係数 C(n−m, k) と比べてどの程度か？ また、この近似の誤差はどの程度か？
• RQ5 n の最小素因数 p* は、Φ(m,n) および Φₖ(m,n) の漸近的推定値を精緻化する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 関数 f(m,n) は正確に ∑_{d=1}^n μ(d) (2^{[n/d]−[m/d]} − 1) に等しく、0 ≤ 2^{n−m} − 2^{[n/2]−[m/2]} − f(m,n) ≤ 2n ⋅ 2^{[(n−m)/3]} を満たす。これは、空でない部分集合の総数に非常に集中していることを示す。
• k 要素部分集合に関しては、fₖ(m,n) = ∑_{d=1}^n μ(d) ⎛⎜[n/d]−[m/d]⎞⎟, k であり、誤差は n ⋅ C([(n−m)/3]+2, k) で抑えられる。これは、C(n−m, k) から偶数要素部分集合の補正を引いたものに強く近いことを示す。
• gcd が n と互いに素である部分集合を数える関数 Φ(m,n) は正確に ∑_{d|n} μ(d) ⋅ 2^{(n/d)−[m/d]} に等しく、0 ≤ 2^{n−m} − 2^{(n/p*)−[m/p*]} − Φ(m,n) ≤ 2n ⋅ 2^{[(n−m)/(p*+1)]} を満たす。ここで p* は n の最小素因数である。
• k 要素部分集合に関しては、Φₖ(m,n) = ∑_{d|n} μ(d) ⎛⎜n/d − [m/d]⎞⎟, k であり、C(n−m, k) − C(n/p* − [m/p*], k) による近似の誤差は最大 n ⋅ C([(n−m)/(p*+1)]+1, k) である。
• 境界は鋭い：誤差項は (n−m) に対して指数的成長を示さず、p* に依存するため、n に大きな最小素因数がある場合にはよりきめ細かい推定が得られる。
• 関数の定義を m ではなく m+1 から開始することで、より対称的で洗練された公式が得られ、一般性を失わずエール・バクラウイの元の定式化を上回る。