[論文レビュー] Asymptotic expansion for the quadratic form of the diffusion process

Nakahiro Yoshida|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 3被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、高頻度サンプリング下でのdiffusion過程の二次変動に関する漸近展開を、Malliavin微積分とランダム記号を用いて導出する。混合正規分布の極限を扱うために、一般のsmoothな係数と非退化係数を有するdiffusionモデルにおいて有効な、実現 volatility 評価器の正規化誤差の高次近似が主な貢献である。

ABSTRACT

In [8], asymptotic expansion of the martingale with mixed normal limit was provided. The expansion formula is expressed by the adjoint of a random symbol with coefficients described by the Malliavin calculus, differently from the standard invariance principle. As an application, an asymptotic expansion for a quadratic form of a diffusion process was derived in the same paper. This article gives some details of the derivation, after a short review of the martingale expansion in mixed normal limit.

研究の動機と目的

• 高頻度金融データにおける実現 volatility の分布の高次漸近近似を構築すること。
• 極限分布が正規でない混合正規分布である場合、古典的極限定理の限界を克服すること。
• 従来正規極限に用いられてきたmartingale展開技術を、Malliavin微積分を用いて混合正規分布の場合に拡張すること。
• diffusion過程の二次変動推定器の正規化誤差に対する厳密な漸近展開を提供すること。
• ドリフトおよび拡散係数に関する一般条件、特に非退化性と滑らかさを満たす条件下で展開の有効性を確立すること。

提案手法

• 標準の不変性原理に代えて随伴ランダム記号を用いることで、混合正規極限に適合したmartingale展開フレームワークを採用する。
• Malliavin微積分を用いて、展開の係数を拡散係数の微分および過程の汎関数で表現する。
• 伊藤の公式と反復伊藤積分を用いて、増分の二次形式を複数のストキャスティック積分項に分解する。
• 正規化誤差 $ Z_n = \sqrt{n}(U_n - U_\infty) $ の展開を $ O_p(1/\sqrt{n}) $ まで導出し、二重および三重ウィENER積分を含む項を含む。
• 剰余項を制御し、所望の位相で収束を保証するために $ \mathbb{D}_{s,p} $-ノルム推定を実施する。
• LAMN性質下での統計的推論を支援するために、スコアの二次変動などの補助統計量 $ F_n $ との同時収束を検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 極限が混合正規分布である場合、実現 volatility の分布に対する高次漸近近似はどのように導出可能か？
• RQ2 極限分布が正規でないが混合正規である場合、martingale展開技術の適切な一般化は何か？
• RQ3 Malliavin微積分を用いて、拡散係数のパスワイズ微分に依存する展開係数を構築する方法は何か？
• RQ4 一般のdiffusion過程における正規化二次変動推定器の漸近展開の正確な形は何か？
• RQ5 ドリフトおよび拡散係数に課されるどのような条件が、展開の有効性と剰余項の収束を保証するか？

主な発見

• 正規化誤差 $ \sqrt{n}(U_n - U_\infty) $ に対する漸近展開が導出され、ここで $ U_n $ は二次変動推定器、$ U_\infty $ は統合 volatility である。
• 展開は $ O_p(1/\sqrt{n}) $ まで含まれ、Malliavin微分を用いて導出された係数を有する二重および三重ウィENER積分を含む。
• 主要項は $ \sqrt{n} \sum_j 2c_{t_{j-1}} \sigma_{t_{j-1}}^2 \int_{t_{j-1}}^{t_j} \int_{t_{j-1}}^t dw_s dw_t $ であり、混合正規成分を表す。
• 一次補正項には三重積分 $ 6n \sum_j c_{t_{j-1}} \sigma_{t_{j-1}} \sigma^{[1]}_{t_{j-1}} \int \int \int dw_u dw_s dw_t $ が含まれ、歪度および高次効果を捉える。
• 剰余項は確率的に $ o_p(1/\sqrt{n}) $ で有界であり、すべての項について一様な $ \mathbb{D}_{s,p} $-推定が確立された。
• 展開は $ b $, $ \sigma $, および $ c $ に対する滑らかさおよび非退化性条件を満たす限り有効であり、多変量および一般の Itô過程に対しても微小な修正で拡張可能である。