[논문 리뷰] Asymptotic Lower Bounds for Optimal Tracking: a Linear Programming Approach

Jiatu Cai, Mathieu Rosenbaum외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 14.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 30인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 선형 프로그래밍 접근법을 사용하여 연속 Itô 반마당수 목표의 최적 추적에 대한 渐近 하한을 수립한다. 추적 비용을 점유 측도와 브라운 운동의 시간 평균 제어를 통해 모델링함으로써, 인풋, 특이, 정규 제어를 포함한 다양한 비용 구조에 대해 명시적으로 계산 가능한 결정론적 하한을 도출한다.

ABSTRACT

We consider the problem of tracking a target whose dynamics is modeled by a continuous Itō semi-martingale. The aim is to minimize both deviation from the target and tracking efforts. We establish the existence of asymptotic lower bounds for this problem, depending on the cost structure. These lower bounds can be related to the time-average control of Brownian motion, which is characterized as a deterministic linear programming problem. A comprehensive list of examples with explicit expressions for the lower bounds is provided.

연구 동기 및 목표

• 연속 Itô 반마당수를 포함한 최적 추적 문제에 대한 渐近 하한을 수립하는 것.
• 브라운 운동의 시간 평균 제어를 결정론적 선형 프로그래밍 문제로 특성화하는 것.
• 인풋, 특이, 정규 제어와 같은 다양한 제어 유형에 대해 하한의 명시적 표현을 제공하는 것.
• 공통의 점유 측도 프레임워크를 통해 금융 및 제어 응용 분야의 추적 비용 분석을 통합하는 것.
• 고정 및 비례 구성 요소를 포함한 비용 구조의 변동에 강건한 하한 유도의 체계적 방법을 제공하는 것.

제안 방법

• 유한 시간 간격 동안 이탈 페널티와 제어 비용의 조합을 최소화하는 방식으로 추적 문제를 설정하는 것.
• 드리프트 및 확산 계수를 갖는 연속 Itô 반마당수로 목표 역학을 모델링하는 것.
• 세 가지 유형의 제어 전략을 표현하는 것: 인풋(이산적 점프), 특이(유계 변동), 정규(절대 연속) 제어.
• 제어된 과정의 상태 공간 내 장기적 분포를 기술하기 위해 점유 측도를 도입하는 것.
• 시간 평균화 및 안정 수렴 기법을 통해 점근적 추적 문제를 결정론적 선형 프로그래밍 문제로 변환하는 것.
• 안정 수렴 및 확률 측도의 약수렴 이론을 적용하여 제어 전략과 비용 함수의 극한을 도출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 목표가 연속 Itô 반마당수를 따를 경우 최적 추적에 대한 점근 하한은 무엇인가?
• RQ2 브라운 운동의 시간 평균 제어는 어떻게 결정론적 선형 프로그래밍 문제로 공식화할 수 있는가?
• RQ3 고정 및 비례 비용이 포함된 인풋 제어에서 하한의 명시적 표현은 무엇인가?
• RQ4 다양한 비용 함수 하에서 특이 제어 및 정규 제어 프레임워크 간 하한은 어떻게 다를 수 있는가?
• RQ5 점유 측도 접근법은 다양한 제어 유형 간 추적 비용 분석을 통합할 수 있는가?

주요 결과

• 시간 평균 점유 측도를 기반으로 한 선형 프로그래밍 공식화를 통해 최적 추적의 점근 하한이 도출된다.
• 하한은 명시적으로 계산 가능하며, 고정 및 비례 구성 요소를 포함한 비용 구조에 따라 달라진다.
• 특이 제어의 경우, 제어 방향과 누적 변동을 포함한 선형 프로그래밍을 풀어 하한이 결정된다.
• 정규 제어의 경우, 제어 속도에 대한 시간 평균 최적화에서 하한이 도출되며, 비용 함수는 제어 속도의 제곱형이다.
• 이 프레임워크는 인풋, 특이, 정규 제어 전반에 걸쳐 동일하게 적용되며, 하한 분석에 대한 통합적 접근법을 제공한다.
• 결과는 고정 및 비례 구성 요소를 포함한 랜덤 가중치 과정과 일반적인 볼록 비용 함수, 즉 제곱형 및 L1형 페널티까지도 확장 가능하며 강건하다.