[論文レビュー] Asymptotic period of an aperiodic Markov chain

Erik A. van Doorn|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、可算状態空間上の非周期的、不可約な離散時間マルコフ連鎖に対して、漸近的周期という概念を導入し、一時的連鎖における巡回的挙動を形式化する。非負整数上での出生死滅過程の漸近的周期が1、2、または∞であることを確立し、漸近的非周期性（漸近的周期=1）を特徴付ける必要十分条件を、遷移確率を含む級数の発散に基づいて提示する。

ABSTRACT

We introduce the concept of asymptotic period for an irreducible and aperiodic, discrete-time Markov chain X on a countable state space, and develop the theory leading to its formal definition. The asymptotic period of X equals one - its period - if X is recurrent, but may be larger than one if X is transient; X is asymptotically aperiodic if its asymptotic period equals one. Some sufficient conditions for asymptotic aperiodicity are presented. The asymptotic period of a birth-death process on the nonnegative integers is studied in detail and shown to be equal to 1, 2 or infinity. Criteria for the occurrence of each value in terms of the 1-step transition probabilities are established.

研究の動機と目的

• 状態空間の分割を通じて、長期的に巡回的挙動を示す一時的で非周期的なマルコフ連鎖のための漸近的周期の概念を形式化すること。
• 1ステップ遷移確率から導かれる調和関数および再帰関係に基づく、漸近的周期性の理論的枠組みを確立すること。
• 非負整数上での出生死滅過程の漸近的周期を分析し、それが1、2、または∞に等しくなる条件を同定すること。
• 1ステップ遷移確率の観点から、出生死滅過程が漸近的に非周期的（漸近的周期=1）であるための必要十分条件を導出すること。
• 出生死滅過程の文脈において、漸近的非周期性と強比極限性質との関係を明らかにすること。

提案手法

• 漸近的周期を、一時的連鎖が漸近的に通過する状態空間の分割における集合の最大数として定義する。
• 遷移行列に関連する正規直交多項式 $ Q_n(x) $ の再帰関係と調和関数の理論を用いて、2ステップ遷移行列 $ P^2 $ の構造を分析する。
• カーリンとマクマーゲンの正規直交多項式フレームワークを適用し、初期条件を伴う再帰関係 $ xQ_n(x) = q_n Q_{n-1}(x) + r_n Q_n(x) + p_n Q_{n+1}(x) $ を導出する。
• 列 $ \bar{Q}_n(-1) = (-1)^n Q_n(-1) $ を導入し、これが単調増加であり、かつ $ \sum_{j=0}^\infty \frac{1}{p_j \pi_j} \sum_{k=0}^j r_k \pi_k = \infty $ である場合に限り $ \infty $ に発散することを示す。
• $ \mathcal{X}^{(2)} $ が単純（すなわち、連鎖が漸近的に非周期的）であることは、$ |Q_n(-1)| \to \infty $ であることと同値であり、これは条件における級数の発散と同値であることを確立する。
• $ P^2 $ に対する有界調和関数と $ |Q_n(-1)| $ の収束の間の同値性を用いて、漸近的周期を級数の発散と結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周期性の概念は、状態空間の分割を通じて長期的に巡回的挙動を示す一時的で非周期的なマルコフ連鎖へ拡張可能か？
• RQ2 非負整数上での出生死滅過程の漸近的周期は何か？ また、それが1、2、または∞に等しくなるのはどのような場合か？
• RQ3 出生死滅過程が漸近的に非周期的であるための1ステップ遷移確率に関する必要十分条件は何か？
• RQ4 出生死滅過程の文脈において、漸近的非周期性は強比極限性質とどのように関係しているか？
• RQ5 列 $ |Q_n(-1)| $ が発散する条件は何か？ そして、これは連鎖の漸近的周期性とどのように関係するか？

主な発見

• 非周期的で不可約な一時的マルコフ連鎖であっても、長期的に巡回的挙動を示すため、漸近的周期が1より大きくなることがある。
• 非負整数上での出生死滅過程において、漸近的周期は1、2、または∞であり、遷移確率の構造に依存する。
• 漸近的周期が1（すなわち、連鎖が漸近的に非周期的）であることは、$ \sum_{j=0}^\infty \frac{1}{p_j \pi_j} \sum_{k=0}^j r_k \pi_k = \infty $ であることと同値であり、ここで $ \pi_j $ は定常測度である。
• 漸近的非周期性の十分条件として、$ \sum_{j=0}^\infty \frac{r_j}{p_j} = \infty $ が成り立つが、これはより広範な設定におけるコロナリー5の条件よりも弱い。
• 列 $ \bar{Q}_n(-1) = (-1)^n Q_n(-1) $ は単調増加であり、かつその級数が発散する場合に限り $ \infty $ に発散する。この発散は漸近的非周期性を特徴付ける。
• $ P^2 $ に対する有界調和関数の有界性は $ |Q_n(-1)| $ の収束と同値であり、したがって $ P^2 $ に非定数の有界調和関数が存在しないことは、漸近的非周期性を意味する。