[論文レビュー] Asymptotic properties of estimators in a stable Cox-Ingersoll-Ross model

Zenghu Li, Chunhua Ma|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2013

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 29被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、スペクトラル正の $\alpha$-安定 Lévy プロセス（$1 < \alpha \leq 2$）によって駆動される安定型 Cox-Ingersoll-Ross（SCIR）モデルにおけるドリフトパラメータの条件付き最小二乗推定量（CLSEs）および重み付き条件付き最小二乗推定量（WCLSEs）の漸近的性質を確立する。低頻度の離散観測を用いて、推定量の一致性と漸近正規性を証明するとともに、指数的エルゴドリシティおよび強混合性の条件下で、高頻度データを用いたボラティリティ係数の弱一致性推定量を提案する。

ABSTRACT

We study the estimation of a stable Cox-Ingersoll-Ross model, which is a special subcritical continuous-state branching process with immigration. The process is characterized in terms of some stochastic equations. The exponential ergodicity and strong mixing property of the process and the heavy tail behavior of some related random sequences are studied. We also establish the convergence of some point processes and partial sums associated with the model. From those results, we derive the consistency and central limit theorems of the conditional least squares estimators and the weighted conditional least squares estimators of the drift parameters based on low frequency observations. A weakly consistent estimator is also proposed for the volatility coefficient based on high frequency observations.

研究の動機と目的

• 重粒子性を持つ Lévy ノイズを有する安定型 Cox-Ingersoll-Ross モデルのドリフトパラメータに対する統計的推論手法の開発。
• 従来の拡散型 CIR モデルに基づく推定技術（CLSEs, WCLSEs）を、より一般的な安定 Lévy プロセス駆動の SCIR モデルへと拡張すること。
• 低頻度の離散観測に基づく推定量の一致性および中心極限定理の確立。
• 高頻度サンプリングを用いたボラティリティ係数 $\sigma$ の弱一致性推定量の提案。
• SCIR過程の確率的性質、特に指数的エルゴドリシティ、強混合性、および関連する系列の重粒子性の分析。

提案手法

• 指数的エルゴドリシティおよび強混合性の条件下で、$1 < \alpha \leq 2$ の指数を持つスペクトラル正の $\alpha$-安定 Lévy プロセスによって駆動される、SCIR モデルを確率微分方程式として定式化する。
• 伊藤の公式を用いて、$X_k = \rho + \gamma X_{k-1} + \varepsilon_k$ の形の離散時間自己回帰表現を導出し、条件付き最小二乗法による推定を可能にする。
• CLSEs と WCLSEs を、それぞれ残差平方和 $\sum_{k=1}^n (X_k - \gamma X_{k-1} - \rho)^2$ 及びその重み付きバージョンの最小化によって定義する。
• SCIR過程に関連する点過程および部分和の収束を用いて、漸近的分布的結果を導出する。
• モーメントバウンドおよび自己正規化極限定理を用いて、確率積分および推定誤差の挙動を制御する。
• 優越収束定理およびモーメント推定を用いて、推定フレームワーク内での主要な誤差項の確率収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 安定 CIR モデルにおけるドリフトパラメータ $b$ および $a$ の条件付き最小二乗推定量（CLSEs）の漸近的性質は何か？
• RQ2 重み付き条件付き最小二乗推定量（WCLSEs）は、CLSEs に対して、極限分布および効率性の観点でどのように改善されるか？
• RQ3 高頻度観測を用いた場合、ボラティリティ係数 $\sigma$ の推定誤差の極限的挙動はいかなるものか？
• RQ4 SCIR過程の指数的エルゴドリシティおよび強混合性の性質は、推定量の漸近理論をどのように支援するか？
• RQ5 α-安定 Lévy ノイズの重粒子性は、推定量の収束性および分布的性質にどのような役割を果たすか？

主な発見

• ドリフトパラメータ $(b, a)$ の CLSEs は、低頻度サンプリングのもとで一貫性を示し、収束速度 $n^{-1/2}$ の下で漸近正規性を有する。
• $(b, a)$ の WCLSEs に対しても漸近正規性が成立し、下位臨界条件のもとで極限分布がガウス分布となる。
• 高頻度観測に基づいてボラティリティ係数 $\sigma$ の弱一致性推定量を提案し、$n \to \infty$ の下で確率収束を示す。
• 過程は指数的エルゴドリシティおよび強混合性を示し、これらは推定量の漸近理論の確立に不可欠である。
• SCIRモデルに関連する部分和および点過程は分布収束するため、中心極限定理の導出が可能である。
• 推定フレームワーク内の誤差項は確率的にゼロに収束し、モーメント不等式および自己正規化極限定理を用いてそのバウンドが得られる。