[論文レビュー] Asymptotic Properties of Extremal Polynomials Corresponding to Measures Supported on Analytic Regions

Brian Simanek|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2011

Mathematical functions and polynomials参考文献 23被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、解析的領域および有限個の外部点に台を持つ測度に関連するモニック極値多項式の $L^q$-ノルムについて、鋭い漸近的推定を確立する。共形写像と積測度の摂動を用いて、Szegő型定理を一般化し、強い漸近的評価とクリスティオフェル関数の推定を提供し、単位円板上における直交多項式の比漸近の一致収束に関する予想を、特定の重み関数の分解条件下で解決する。

ABSTRACT

Let G be a bounded region with simply connected closure and having analytic boundary and let mu be a positive measure carried by the closure of G together with finitely many pure points outside G. We provide estimates on the norms of the monic polynomials of minimal norm in the space L^q(mu) for q>0. In case the norms converge to 0, we provide estimates on the rate of convergence, generalizing several previous results. Our most powerful result concerns measures mu that are perturbations of measures that are absolutely continuous with respect to the push-forward of a product measure near the boundary of the unit disk. Our results and methods also yield information about the strong asymptotics of the extremal polynomials and some information concerning Christoffel functions.

研究の動機と目的

• 解析的境界を持つ解析的領域における $L^q$-極値多項式に対するSzegő型定理を一般化すること。
• 単位円板の境界付近における絶対連続測度の摂動が、モニック多項式ノルムの漸近的挙動に与える影響を分析すること。
• 特定の重み関数の分解条件下で、単位円板外部のコンパクト集合上で $p_{n+1}(z)/z p_n(z)$ の比漸近が 1 に一様収束するかどうかという予想を解決すること。
• 解析的領域に台を持つ測度に加え有限個の外部点質量を持つ場合の極値多項式について、強い漸近的評価とクリスティオフェル関数の推定を導出すること。

提案手法

• 単位円板外部から $\overline{G}$ の補集合への共形写像 $\psi$ 及びその逆写像 $\phi$ を用いて測度を移行し、漸近的挙動を分析する。
• $\psi$ による積測度のプッシュフォワードを適用し、均衡測度の摂動をモデル化し、$L^q$-ノルムの減衰率の分析を可能にする。
• カーネル関数 $K_n(z,w;\mu)$ 及びその正規化版を用いた強い漸近的枠組みを用いて、クリスティオフェル関数の逆数 $\lambda_n(z;\mu,q)$ の極限を研究する。
• モンテルの定理および正規族を用いてカーネル関数の収束する部分列を抽出し、一様有界性と解析的極限への収束を証明する。
• $\phi_*$ を用いた測度の変換により、$G$ 上の問題を単位円周上の既知の直交多項式の結果に還元する。
• 対称集合に台を持つ対称測度に対して、$L^1$-極値多項式の非一意性を、対称性と $L^1$-ノルムの微分解析を用いて示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解析的境界を持つ解析的領域におけるモニック極値多項式の $L^q$-ノルムがゼロに収束する条件は何か。また、その収束速度はどのようになるか？
• RQ2 単位円板の境界付近における絶対連続測度の摂動が、極値多項式の強い漸近的挙動に与える影響は何か？
• RQ3 重み関数が $h(r e^{i\theta}) f(\theta) g(r)$ と分解され、$h$ が $\overline{\mathbb{D}}$ 上で連続かつ非零であるとき、比漸近 $p_{n+1}(z;\mu,2)/(z p_n(z;\mu,2))$ は $\overline{\mathbb{C}}\setminus\overline{\mathbb{D}}$ のコンパクト集合上で 1 に一様収束するか？
• RQ4 測度 $\mu$ が円板に台を持ち、径方向成分を含むとき、クリスティオフェル関数 $\lambda_n(z;\mu,q)$ の原点における挙動はいかなるものか？
• RQ5 異なる $q \in (0,\infty)$ に対して極値多項式の漸近的挙動を一様に特徴づけることは可能か。特に $q=1$ の場合に注目する。

主な発見

• 測度 $\mu$ が単連結な解析的領域 $G$（容量 1）に台を持ち、有限個の外部点質量を持つ場合、本稿はモニック極値多項式の $L^q$-ノルムが、単位円周上のプッシュフォワード測度の対数微分によって定まるレートでゼロに収束することを証明する。
• 正規化されたカーネル $Q_{n,z}(w)$ が正規族をなすことを示し、コンパクト集合上で解析的極限関数に収束させることで、極値多項式の強い漸近的性質を確立する。
• Saff (1986) の予想が確認された：重み関数が $\mathbb{D}$ 上で $w(re^{i\theta}) = h(re^{i\theta}) f(\theta) g(r)$ と分解され、$h$ が $\overline{\mathbb{D}}$ 上で連続かつ非零であるとき、$\lim_{n\to\infty} \frac{p_{n+1}(z;\mu,2)}{z p_n(z;\mu,2)} = 1$ が $\overline{\mathbb{C}}\setminus\overline{\mathbb{D}}$ のコンパクト集合上で一様に成り立つ。
• 測度 $\mu$ が $\overline{\mathbb{D}}$ 上にあり、径方向成分 $\tau$ と円周成分 $\nu$ を持つとき、$\tau$ が原点に質量を持つ場合、かつ $\nu \neq \frac{d\theta}{2\pi}$ である限り、$\lambda_\infty(0;\mu,2) > \lambda_\infty(0;\nu,2)$ が成り立ち、径方向質量のおかげで厳密に増加することが示される。
• 本稿は、[29] の定理 2.5.4 における原点におけるクリスティオフェル関数の極限について、新たな証明を提供し、$\lambda_\infty(0;\mu,q)$ が $\mu$ の径方向成分と円周成分に依存することを示している。
• 対称集合に台を持つ対称測度に対して、$L^1$-極値多項式の非一意性が示された：奇数 $n$ に対して、$\mu$ が $[-2,-1] \cup [1,2]$ に台を持ち、対称である場合、$P_n(\mu,1)$ は一意でない。