[論文レビュー] Asymptotic results and statistical procedures for time-changed Lévy processes sampled at hitting times

Mathieu Rosenbaum, Peter Tankov|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 32被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、現在の水準から距離εの対称的バリアに到達するランダムな到達時刻で観測される時間変更Lévy過程について、漸近的極限および統計的推論手順を確立する。ε → 0の下で、スケーリングされた過程がα安定過程に法的に収束することを示し、追加の仮定の下で時間変更およびBlumenthal-Getoor指数の一貫した推定が可能となり、収束速度および中心極限定理が得られる。

ABSTRACT

We provide asymptotic results and develop high frequency statistical procedures for time-changed Lévy processes sampled at random instants. The sampling times are given by first hitting times of symmetric barriers whose distance with respect to the starting point is equal to $\varepsilon$. This setting can be seen as a first step towards a model for tick-by-tick financial data allowing for large jumps. For a wide class of Lévy processes, we introduce a renormalization depending on $\varepsilon$, under which the Lévy process converges in law to an $α$-stable process as $\varepsilon$ goes to $0$. The convergence is extended to moments of hitting times and overshoots. In particular, these results allow us to construct consistent estimators of the time change and of the Blumenthal-Getoor index of the underlying Lévy process. Convergence rates and a central limit theorem are established under additional assumptions.

研究の動機と目的

• 終縁的到達時刻で観測される高周波データのための統計的手続きを開発すること。特に、ジャンプを有するモデルを対象とする。
• バリア距離ε → 0の下で、スケーリングされた時間変更Lévy過程がα安定極限に弱収束することを確立すること。
• この観測スキームの下で、時間変更およびジャンプ活性度指数（Blumenthal-Getoor指数）の一貫した推定器を導出すること。
• 正則性条件の下で、関数型および推定器の収束速度を定量化し、中心極限定理を確立すること。
• 漸近的結果を、最初の抜出し時刻のモーメントおよびオーバーシュート関数型へと拡張すること。

提案手法

• ε → 0の下でα安定過程への収束を調べるため、$ X^{\varepsilon}_t = \varepsilon^{-1}X_{\varepsilon^{\alpha}t} $ による過程のスケーリング。
• C-タイト性およびSkorohod位相を用いて、スケーリングされた過程および関連関数型の弱収束を証明する。
• 最初の到達時刻 $ T^{\varepsilon}_i = \inf\{t > T^{\varepsilon}_{i-1} : |Y_t - Y_{T^{\varepsilon}_{i-1}}| \geq \varepsilon\} $ を用いて観測スキームを定義する。
• 統計的推論のための推定器 $ V^{\varepsilon}(f)_t = \sum_{T^{\varepsilon}_i \leq t} f(\varepsilon^{-1}(Y_{T^{\varepsilon}_i} - Y_{T^{\varepsilon}_{i-1}})) $ を構築する。
• Kolmogorovの不等式およびモーメント評価を用いて、$ \mathbb{E}[\tau^{\varepsilon}_1] $ および $ \text{Var}(\tau^{\varepsilon}_1) $ の仮定の下で収束速度を導出する。
• Skorohod表現定理を用いて、時間変更過程における確率的収束のほとんど確実性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バリア距離εが0に近づくとき、スケーリングされた時間変更Lévy過程は法的にα安定過程に収束するか？
• RQ2 最初の抜出し時刻のモーメントおよびオーバーシュート関数型は、極限のα安定過程のそれらに収束するか？
• RQ3 この到達時刻観測スキームの下で、時間変更およびBlumenthal-Getoor指数の一貫した推定器は可能か？
• RQ4 スケーリングされた過程から導かれる関数型および推定器の収束速度は何か？
• RQ5 追加の正則性仮定の下で、推定器に対して中心極限定理が成り立つか？

主な発見

• 広いクラスのLévy過程（拡散項や非ゼロのドリフトを有するものも含む）に対して、スケーリングされた過程 $ X^{\varepsilon} $ はε → 0の下でα安定Lévy過程に法的に収束する。
• 最初の抜出し時刻およびオーバーシュート関数型のモーメントは、極限のα安定過程におけるそれらに収束し、しばしば明示的に知られている。
• 関数型 $ V^{\varepsilon}(f)_t $ は大数の法則を満たし、Blumenthal-Getoor指数および時間変更の特徴の一致推定を可能にする。
• 追加のモーメント条件の下で、推定器の収束速度は $ \varepsilon^{-(1-\delta-\beta) \vee -1/2} $ であり、過程は確率的に一様にゼロに収束する。
• 正則性条件の下で、推定器に対して多次元中心極限定理が確立され、漸近正規性が確認される。
• $ \varepsilon^{-\alpha/2}(Z^{\varepsilon}_{\varepsilon^{\alpha}M^{\varepsilon}_t} - t) \to 0 $ の収束により、タイト性およびスケーリングスキームにおける一様収束が保証される。