[論文レビュー] Asymptotic results for bifurcating random coefficient autoregressive processes

Vassili Blandin|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2012

Statistical Methods and Inference被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、マーティングルールを用いたアプローチにより、1次確率係数分岐自己回帰（RCBAR）過程における重み付き最小二乗（WLS）推定量の漸近的性質を確立する。確率係数およびノイズに関する正規性条件のもとで、推定量のほとんど確実収束、2次強大数法則、および漸近的正規性を証明し、ベクトル値マルティンゲール極限定理を用いて収束速度を導出する。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to study the asymptotic behavior of the weighted least square estimators of the unknown parameters of random coefficient bifurcating autoregressive processes. Under suitable assumptions on the immigration and the inheritance, we establish the almost sure convergence of our estimators, as well as a quadratic strong law and central limit theorems. Our study mostly relies on limit theorems for vector-valued martingales.

研究の動機と目的

• 1次確率係数分岐自己回帰（RCBAR）過程における重み付き最小二乗（WLS）推定量の漸近的挙動を研究すること。
• 両親から子に受け継がれる要因（確率係数）と環境的要因（駆動ノイズ）が共に存在する非対称な細胞系統データをモデル化すること。
• 古典的な分岐自己回帰モデルおよび確率係数自己回帰モデルを、確率的継承を伴う木構造的・非対称なフレームワークへと拡張すること。
• マルティンゲール技法を用いて、WLS推定量の強一貫性、2次強大数法則、中心極限定理を確立すること。
• 細胞系統研究などの二分木データを有する確率過程におけるパrameter推定の理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 各親子ペアに対して確率係数 (a_n, b_n) と相関するノイズ (ε_2n, ε_2n+1) を持つ二分木上に1次RCBAR過程を形式化する。
• 木構造から導かれる重みを用いて、RCBARモデルの未知パrameterの重み付き最小二乗（WLS）推定量を定義する。
• WLS推定量の漸近的挙動を分析するために、ベクトル値マルティンゲール極限定理を適用する。
• マルティンゲールの強大数法則および中心極限定理を用いて収束結果を導出する。
• 推定量の漸近的正規性を検証するためのラプラシアン型条件を確立する。
• WLS推定量の極限分布を、モデルの2次モーメントに依存する共分散行列を有する多変量正規分布として導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 RCBARモデルのパrameterに対する重み付き最小二乗推定量が、どのような条件下でほとんど確実に収束するか。
• RQ2 RCBARフレームワークにおけるWLS推定量に対して2次強大数法則が成立するか。
• RQ3 WLS推定量は漸近的に正規的であり、その極限分布は何か。
• RQ4 確率係数 (a_n, b_n) および相関するノイズ (ε_2n, ε_2n+1) は、推定量の漸近的性質にどのように影響を与えるか。
• RQ5 非対称的かつ確率的継承を伴うRCBAR過程に対して、マルティンゲールアプローチを効果的に用いて極限定理を導出できるか。

主な発見

• 確率係数およびノイズのモーメントに関する正規性条件のもとで、RCBARモデルパrameterのWLS推定量は、真のパrameter値にほとんど確実に収束する。
• WLS推定量に対して2次強大数法則が確立され、確率的収束の速度が高確率で確認される。
• WLS推定量は漸近的に正規的であり、極限分布は平均がゼロで共分散行列が D^(-1)HD^(-1) である多変量正規分布である。ここで H は2次モーメントの行列である。
• 推定量の漸近的分散は、係数およびノイズの分散と混合モーメントを含むモデルのモーメントを明示的に用いて導出される。
• WLS推定量の収束速度は √|𝕋_n| である。ここで |𝕋_n| は二分木における第 n 世代のサイズを表す。
• 数値シミュレーションにより、WLS推定量の漸近的正規性が確認され、実験的分布が理論的正規近似とよく一致する。