[논문 리뷰] Asymptotic Results on Adaptive False Discovery Rate Controlling Procedures Based on Kernel Estimators

Pierre Neuvial|arXiv (Cornell University)|2010. 03. 03.

Statistical Methods in Clinical Trials참고 문헌 9인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 p-값의 밀도를 1에서 추정하기 위해 커널 추정기를 사용하는 적응형 FDR 제어 절차를 연구한다. 이를 통해 점점 증가하는 점근적 검정력이 향상된다. 이러한 절차가 더 낮은 FDR 제어 수준과 더 넓은 목표 FDR 수준 범위에서 양의 점근적 검정력을 달성함을 증명하며, 비모수적 수렴 속도가 $m^{-k/(2k+1)}$로 느리다는 점을 고려한다. 여기서 $k$는 p-값 밀도의 부드러움을 반영한다.

ABSTRACT

The False Discovery Rate (FDR) is a commonly used type I error rate in multiple testing problems. It is defined as the expected False Discovery Proportion (FDP), that is, the expected fraction of false positives among rejected hypotheses. When the hypotheses are independent, the Benjamini-Hochberg procedure achieves FDR control at any pre-specified level. By construction, FDR control offers no guarantee in terms of power, or type II error. A number of alternative procedures have been developed, including plug-in procedures that aim at gaining power by incorporating an estimate of the proportion of true null hypotheses. In this paper, we study the asymptotic behavior of a class of plug-in procedures based on kernel estimators of the density of the $p$-values, as the number $m$ of tested hypotheses grows to infinity. In a setting where the hypotheses tested are independent, we prove that these procedures are asymptotically more powerful in two respects: (i) a tighter asymptotic FDR control for any target FDR level and (ii) a broader range of target levels yielding positive asymptotic power. We also show that this increased asymptotic power comes at the price of slower, non-parametric convergence rates for the FDP. These rates are of the form $m^{-k/(2k+1)}$, where $k$ is determined by the regularity of the density of the $p$-value distribution, or, equivalently, of the test statistics distribution. These results are applied to one- and two-sided tests statistics for Gaussian and Laplace location models, and for the Student model.

연구 동기 및 목표

• 커널 추정기를 사용하여 1에서 p-값 밀도를 추정하는 적응형 FDR 제어 절차의 점근적 행동을 조사하는 것.
• 시험 수가 증가함에 따라 표준 Benjamini-Hochberg 절차에 비해 이러한 절차가 더 높은 검정력을 제공하는지 평가하는 것.
• 가장 높은 점근적 검정력과 느린 FDP 수렴 속도 사이의 트레이드오���을 정량화하는 것.
• 커널 기반 플러그인 추정기($\hat{\pi}_0$)가 대규모 다중 검정에서 유효한 FDR 제어를 보장하는 조건을 설정하는 것.
• 이 절차 하에서 FDP의 수렴 속도를 유도하고, 이를 p-값 밀도의 부드러움과 연결하는 것.

제안 방법

• 1에서 p-값의 밀도를 비모수적으로 추정하기 위해 커널 추정기를 사용하며, 이를 통해 $\pi_0$ — 진정한 귀무가설의 비율 — 를 추정한다.
• 적응형 FDR 제어를 위해 Benjamini-Hochberg 절차를 수준 $\alpha / \hat{\pi}_0$ 에서 적용한다.
• $\hat{\pi}_0$ 가 $\pi_{0,\infty} \geq \pi_0$ 로 확률적으로 수렴한다는 가정 하에, FDP의 점근적 분포를 델타 방법을 사용하여 분석한다.
• FDP의 수렴 속도를 $m^{-k/(2k+1)}$ 로 도출하며, 여기서 $k$는 p-값 밀도의 헬더 정규성에 의해 결정되며, 이는 기저 테스트 통계량 분포의 부드러움을 반영한다.
• 특히 가우시안 및 라플라스 모델과 같은 대칭 모델에서, 가능도 비율 $f_1/f_0$ 에 대한 규칙성 조건 하에서 절차의 일관성과 순수성을 확립한다.
• 가우시안, 라플라스 및 스트루던트 t 모델에서의 단측 및 이측 검정에 결과를 적용하여, 대립가설 하에서 p-값의 밀도 $g_1(t)$ 에 대한 규칙성 조건을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 p-값의 비모수적 밀도 추정을 위해 커널 기반 추정기를 사용할 경우, 표준 Benjamini-Hochberg 절차에 비해 점근적으로 더 엄격한 FDR 제어를 달성하는가?
• RQ2 이러한 적응형 절차는 표준 BH 절차에 비해 더 넓은 목표 FDR 수준 범위에서 양의 점근적 검정력을 달성할 수 있는가?
• RQ3 이러한 커널 기반 적응형 절차 하에서 FDP의 수렴 속도는 얼마인가?
• RQ4 p-값 밀도의 부드러움(헬더 정규성으로 측정)이 FDP의 수렴 속도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 테스트 통계량 분포에 대한 조건(예: 대칭성, 가능도 비율의 규칙성)은 이러한 절차가 FDR 제어와 점근적 검정력을 유지하는 데 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 커널 기반 적응형 FDR 절차는 임의의 목표 FDR 수준 $\alpha$ 에 대해 표준 Benjamini-Hochberg 절차보다 더 엄격한 점근적 FDR 제어를 달성한다.
• 이 절차는 표준 BH 절차에 비해 더 넓은 목표 FDR 수준 범위에서 양의 점근적 검정력을 보인다.
• 커널 기반 절차 하에서 FDP의 수렴 속도는 $m^{-k/(2k+1)}$ 이며, 여기서 $k$는 p-값 밀도의 헬더 정규성 지수로, 더 느린 비모수적 수렴을 반영한다.
• FDP의 점근적 분포는 정규분포이며, 분산은 $w^2 = s_0^2 \pi_0^2 \alpha^2 / \pi_{0,\infty}^4$ 로, 델타 방법을 통해 유도된다.
• 대칭 모델(예: 가우시안, 라플라스)에서의 이측 검정에서는 대립가설 하에서 p-값의 밀도 $g_1(t)$ 가 $t=1$ 에서 미분 가능하며, 추가적인 부드러움 조건이 있으면 두 번 미분 가능하다.
• 가능도 비율 $f_1/f_0$ 가 0에서 미분 가능하면, $g_1(t)$ 는 $t=1$ 에서 미분 가능하며, 이는 FDP의 점근적 정규성에 필수적이다.