[論文レビュー] Asymptotic solutions of forced nonlinear second order differential equations and their extensions

Angelo B. Mingarelli, Kishin Sadarangani|ArXiv.org|Mar 1, 2007

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 95被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、修正されたSchauderの不動点定理、非コンパクト性の尺度、およびVolterra-Stieltjes積分方程式を用いて、半直線上の強制非線形2階微分方程式の非振動性および漸近的挙動に関する新しい積分型基準を確立する。本研究は微分方程式と差分方程式を統一し、超線形・準線形・線形の場合の従来の区別を排除し、広範な非線形性のもとで非可算個の解のグローバル存在を示す。

ABSTRACT

Using a modified version of Schauder's fixed point theorem, measures of non-compactness and classical techniques, we provide new general results on the asymptotic behavior and the non-oscillation of second order scalar nonlinear differential equations on a half-axis. In addition, we extend the methods and present new similar results for integral equations and Volterra-Stieltjes integral equations, a framework whose benefits include the unification of second order difference and differential equations. In so doing, we enlarge the class of nonlinearities and in some cases remove the distinction between superlinear, sublinear, and linear differential equations that is normally found in the literature. An update of papers, past and present, in the theory of Volterra-Stieltjes integral equations is also presented.

研究の動機と目的

• 強制非線形2階微分方程式の非振動性および漸近的挙動に関する一般的な積分型基準を、[x₀, ∞) 上で開発すること。
• 微分方程式の結果を積分方程式およびVolterra-Stieltjes積分方程式に拡張し、連続的および離散的ケースを統一すること。
• 振動論における従来の超線形・準線形・線形非線形性の区別を排除すること。
• 局所的または大xにおける存在性にとどまらず、非可算個の解のグローバル存在定理を提供すること。
• Volterra-Stieltjes積分方程式理論の包括的かつ最新の更新と、微分方程式および差分方程式への応用を提示すること。

提案手法

• 非コンパクト性の尺度と組み合わせたSchauderの不動点定理の修正版を用いて解の存在を証明する。
• 古典的解析的手法および微分不等式を用いて、漸近的挙動および非振動性を分析する。
• 2階微分方程式を、σが有界 Variation を持つものとして、y′(x) = y′(0) − ∫₀ˣ F(t,y(t)) dσ(t) の形のVolterra-Stieltjes積分微分方程式としてモデル化する。
• 微分方程式とVolterra-Stieltjes方程式の間の同値性を確立し、微分方程式と差分方程式の統一的取り扱いを可能にする。
• 積分方程式にこの手法を適用し、収縮写像および積分不等式を用いて存在性および漸近的性質を証明する。
• 比較法および最大原理を用いて、y′′(x) が符号を変化しない場合に非振動的挙動を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 F(x,y) にどのような積分型条件を課すと、[x₀, ∞) 上で y′′(x) + F(x,y(x)) = g(x) の非可算個の非振動解が存在するか？
• RQ2 Volterra-Stieltjes積分方程式は、2階微分方程式と差分方程式の解析をどのように統一するか？
• RQ3 振動論において、超線形・準線形・線形非線形性の区別をどのようにしてなくすことができるか？
• RQ4 強制非線形2階方程式の解が漸近的に定数または漸近的に線形に保たれるのはどのような条件下か？
• RQ5 F および σ における積分条件は、解のグローバル存在性および非振動的挙動とどのように関係するか？

主な発見

• 本稿では、F に積分型条件を課したもとで、強制項のない方程式 y′′(x) + F(x,y(x)) = 0 に対して、非可算個の解のグローバル存在を確立し、従来の局所的存在結果を拡張する。
• 正で非振動的な解の存在の必要十分条件は、ある M>0 に対して ∫ₐ^∞ (t−a)F(t,M) dσ(t) < ∞ である。
• 最終的に正で、y′(x) → c ≥ 0 を満たす解に対しては、ε > 1 のとき ∫ₐ^∞ y(t)^{-ε} F(t,y(t)) dσ(t) < ∞ が必要である。
• Volterra-Stieltjes方程式の枠組みにより、微分方程式および差分方程式の結果が、新たな証明なしに系として導かれる。
• 本手法により、従来の超線形・準線形・線形非線形性の分類が排除され、それらの統一的取り扱いが実現される。
• 定理4.4, 4.5, 4.7, および4.8は、積分不等式および漸近的挙動の分析を用いて、非振動解のための十分かつ必要条件を提供する。