[論文レビュー] Asymptotic spreading speed for the weak competition system with a free boundary

Zhiguo Wang, Hua Nie+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2017

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、新規種の侵入をモデル化する自由境界を有する拡散的Lotka-Volterra競争系を研究する。侵入種に対して、拡散・消滅の二分岐が確立され、弱い競争（k < 1, h < 1）の下で、成功した拡散が正の定常状態 (u*, v*) における共存をもたらすことを証明する。また、漸近的拡散速度は、移動波方程式系によって決定される。

ABSTRACT

This paper is concerned with a diffusive Lotka-Volterra type competition system with a free boundary in one space dimension. Such a system may be used to describe the invasion of a new species into the habitat of a native competitor. We show that the longtime dynamical behavior of the system is determined by a spreading-vanishing dichotomy, and provide sharp criteria for spreading and vanishing of the invasive species. Moreover, we determine the asymptotic spreading speed of the invasive species when its spreading is successful, which involves two systems of traveling wave type equations, and is highly nontrivial to establish.

研究の動機と目的

• 自由境界が種の侵入を表す拡散的Lotka-Volterra競争系の長期的ダイナミクスを分析すること。
• 弱い競争条件（k < 1, h < 1）の下で、侵入種に対する拡散・消滅の二分岐を確立すること。
• 拡散が発生する場合の侵入種の漸近的拡散速度を特定すること。これは、在来種と結合しているため非自明である。
• 弱い競争下で、在来種が生存し、侵入に成功した場合に二つの個体群が共存定常状態 (u*, v*) に収束することを示すこと。
• 従来の弱い・強い競争の場合の結果を拡張し、移動波型方程式系を用いて、拡散速度を厳密に導出すること。

提案手法

• Neumann境界条件とステファン型移動境界を有する二種競争系の自由境界問題を定式化する。
• 次元削減を用いて、種間および種内競争強度を表すパラメータkとhを有する標準形にシステムを簡略化する。
• 単調反復理論とSchauderの不動点定理を用いて、関連する移動波系の解を構成する。
• 重み付き Hölder 空間と事前推定を用いて、移動波方程式の解の存在性と正則性を証明する。
• 無限遠における解の漸近的挙動を分析し、比較原理を用いて単調性と均衡への収束を確立する。
• 自由境界系の長期的挙動から導かれる結合された移動波方程式系を解くことにより、拡散速度を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 在来種が自由境界を有する状況で、侵入種が拡散するか、消滅するかの条件は何か？
• RQ2 弱い競争領域において、侵入種の漸近的拡散速度は、競争パラメータkとhにどのように依存するか？
• RQ3 侵入種が成功的に拡散した場合、二種の長期的共存挙動はいかなるものか？
• RQ4 拡散速度は移動波方程式系によって特徴付けられるか？これは弱い・強い競争の場合とどのように異なるか？
• RQ5 自由境界のダイナミクスは、種の競争の最終的結果を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• 弱い競争の場合（k < 1, h < 1）でさえ、侵入種に対して拡散・消滅の二分岐が成立し、従来の弱い・強い競争領域からの結果を拡張する。
• 拡散が発生する場合、二種は共存定常状態 (u*, v*) = ((1−k)/(1−hk), (1−h)/(1−hk)) に収束する。この状態は与えられた条件下で正であり安定である。
• 侵入種の漸近的拡散速度は、移動波方程式系によって決定され、拡散が発生する場合には正の値をとる。
• 拡散速度は単一の移動波によってではなく、両種を含む結合された方程式系によって決定され、共存ダイナミクスを反映している。
• 弱い競争の場合、在来種vは常に侵入に耐えるが、弱い・強い競争の場合にはuが拡散する際にvが消滅するのとは対照的である。
• 重み付き Hölder 空間における不動点法と比較技術を用いて、正の拡散速度の存在が厳密に証明された。