[論文レビュー] Asymptotically Exact Inference in Conditional Moment Inequality Models

Timothy B. Armstrong|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2011

Advanced Causal Inference Techniques被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、パラメータが同定集合の境界上にある場合の条件付きモーメント不等式モデルにおける、Kolmogorov-Smirnovスタイルの検定統計量の正確な漸近的収束速度と漸近的分布を導出することによって、漸近的に正確な推論を開発する。収束速度は√nより速く、具体的には $ n^{-2/(d_X+4)} $ であることが示され、非拘束モーメントにのみ依存する漸近的分布が導かれる。これにより、保守的な√n近似よりもより強力な推論が可能になる。

ABSTRACT

This paper derives the rate of convergence and asymptotic distribution for a class of Kolmogorov-Smirnov style test statistics for conditional moment inequality models for parameters on the boundary of the identified set under general conditions. In contrast to other moment inequality settings, the rate of convergence is faster than root-$n$, and the asymptotic distribution depends entirely on nonbinding moments. The results require the development of new techniques that draw a connection between moment selection, irregular identification, bandwidth selection and nonstandard M-estimation. Using these results, I propose tests that are more powerful than existing approaches for choosing critical values for this test statistic. I quantify the power improvement by showing that the new tests can detect alternatives that converge to points on the identified set at a faster rate than those detected by existing approaches. A monte carlo study confirms that the tests and the asymptotic approximations they use perform well in finite samples. In an application to a regression of prescription drug expenditures on income with interval data from the Health and Retirement Study, confidence regions based on the new tests are substantially tighter than those based on existing methods.

研究の動機と目的

• パラメータが同定集合の境界上にある条件付きモーメント不等式モデルにおける、Kolmogorov-Smirnovスタイルの検定統計量の正確な収束速度と漸近的分布を導出すること。
• このような状況下で、既存の手法が保守的な√nバウンドしか提供しないのに対し、鋭い漸近的近似が不足している問題を解決すること。
• 正しい漸近的分布とスケーリングを用いることで、従来の保守的アプローチよりも強力な新しい推論手順を開発すること。
• 新しい手法と従来の手法の下で、同定集合に収束する局所的代替仮説の検出率を比較することによって、パワーの向上を定量すること。
• モンテカルロシミュレーションを通じて、提案手法の有限標本性能を検証し、Health and Retirement Studyのデータを用いた実世界の区間回帰モデルに適用すること。

提案手法

• すべての区間 (s,t) にインデックスが付いた無条件モーメントの下界を分析することにより、帰無仮説とすべての such 区間におけるモーメント不等式の等価性を活用して、検定統計量の漸近的分布を導出する。
• パラメータにおける一次のテイラー展開と、条件変数における二次のテイラー展開を用いて、境界点付近の統合モーメント関数を近似する。
• 変数変換 $ u = (x - x_k)n^{1/(2(d+2))} $ を適用して積分を再パラメータ化し、真の積分と近似積分の差が関連領域全体で一様にゼロに収束することを示す。
• 検定統計量の下界が、$ x - x_k $ における二次形式とパラメータのずれ $ a_n $ における一次項の下界と漸近的に同等であり、$ \sqrt{n} $ でスケーリングされることを確立する。
• 導出されたスケーリングの下で、拘束モーメントからの寄与が極限で消えることを示すことにより、漸近的分布が非拘束モーメントにのみ依存することを証明する。
• 導出された漸近的分布を用いて、保守的な $ \sqrt{n} $ 近似に基づくものよりも強力な臨界値を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 条件付きモーメント不等式モデルにおいて、パラメータが同定集合の境界上にある場合のKolmogorov-Smirnov検定統計量の正確な収束速度は何か？
• RQ2 漸近的分布は標準的な√n結果とどのように異なるのか？その極限形は何かによって決定されるのか？
• RQ3 提案手法は、既存の保守的アプローチよりも速い速度で同定集合に収束する局所的代替仮説を検出できるか？
• RQ4 新しい検定の有限標本性能は、従来の手法と比較して、サイズとパワーの観点でどのように異なるか？
• RQ5 実応用において、新しい推論手順に基づく信頼領域は、保守的近似に基づくものと比較して、サイズがどの程度小さくなるか？

主な発見

• 同定集合の境界上での検定統計量の収束速度は $ n^{-2/(d_X+4)} $ であり、標準的な $ \sqrt{n} $ 速度よりも速い。
• 境界付近の局所的近似の構造のおかげで、漸近的分布は拘束モーメントに依存せず、非拘束モーメントにのみ依存する。
• 新しい検定は、同定集合に $ n^{-2/(d_X+4)} $ の速度で収束する局所的代替仮説を検出可能であるのに対し、従来の保守的手法は $ n^{-1/(d_X+2)} $ の速度でのみ検出可能である。
• パワーの向上は顕著であり、新しい手法は√n近似に基づくものよりも、漸近的に同定集合に近い代替仮説を検出可能である。
• モンテカルロシミュレーションにより、漸近的近似が有限標本でも良好に機能することが確認され、適切なサイズと改善されたパワーを示した。
• 処方薬の支出を収入で回帰する区間回帰モデルへの応用において、新しい検定に基づく信頼領域は、従来の手法に基づくものと比べて著しく狭くなった。