[論文レビュー] Asymptotically Optimal Monte Carlo Sparse Multivariate Polynomial Interpolation Algorithms of Straight-Line Program

Qiao-Long Huang, Xiao-Shan Gao|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2017

Polynomial and algebraic computation参考文献 15被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、直線プログラムとして符号化されたスパースな多変数多項式に対する、漸近的に最適なモンテカルロ法および決定的補間アルゴリズムを提示する。モンテカルロ法は、有限体上において、nTに線形で、log Dに立方に依存するビット複雑性を達成し、対数要因を無視すれば入力の読み取りと同等に補間が効率的である。また、複数の多変数多項式の乗算においても、漸近的に最適なアルゴリズムを可能にする。

ABSTRACT

In this paper, we propose new deterministic interpolation algorithms and Monte Carlo interpolation algorithms for sparse multivariate polynomials represented by straight-line programs. Let f be an n-variate polynomial with a degree bound D and and term bound T. Our deterministic algorithms have better complexities than existing deterministic interpolation algorithms in most cases. Our Monte Carlo interpolation algorithms are asymptotically optimal in the sense that their bit complexities are linear in nT and cubic in log D, when the coefficients of the polynomials are from a finite field. Since f has size nT, our algorithm implies that interpolating a straight-line program polynomial f is as easy as reading f, if the log D factor in the complexities is not considered. Based on the Monte Carlo interpolation algorithm, we give an asymptotically optimal algorithm for the multiplication of several multivariate polynomials, whose complexity is softly linear in the input size plus the output size, if the logarithm factors are ignored.

研究の動機と目的

• 直線プログラムとして表現されたスパース多変数多項式の補間アルゴリズムを、従来の決定的手法よりも効率よく開発すること。
• 特にnTおよびlog Dの依存関係において、有限体上でのモンテカルロ補間のビット複雑性において漸近的最適性を達成すること。
• 補間アルゴリズムを活用して、複数の多変数多項式の乗算のための漸近的に最適なアルゴリズムを設計すること。
• 対数要因を無視した場合、補間の複雑性が入力の読み取りとほぼ同等であることを示すこと。

提案手法

• 乱数によるサンプリングとランダムポイントでの評価を用いて、直線プログラムからスパース多変数多項式を再構築するモンテカルロ補間アルゴリズムの設計。
• 有限体上での代数的技法を用いて、高い確率で正しさを保証するとともに、ビット複雑性を最小限に抑える。
• n（変数の数）、T（項の上限）、D（次数の上限）の観点からビット複雑性を分析し、nTに線形で、log Dに立方に依存することを示す。
• 補間アルゴリズムをサブルーチンとして用いて、複数の多変数多項式の乗算のための効率的アルゴリズムを構築する。
• 対数要因を無視した場合、乗算アルゴリズムの複雑性が入力サイズと出力サイズの和に対してソフトリー線形であることを確立する。
• 情報理論的下界と対数要因を除いて一致することを示すことで、漸近的最適性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 直線プログラムで符号化されたスパース多変数多項式のモンテカルロ補間アルゴリズムは、ビット複雑性において漸近的に最適になるか？
• RQ2 特に有限体上において、補間のビット複雑性はn、T、Dに対してどのようにスケーリングするか？
• RQ3 対数要因を無視した場合、補間は入力の読み取りとどの程度効率的に近いか？
• RQ4 補間アルゴリズムから、複数の多変数多項式の乗算のための漸近的に最適なアルゴリズムを導出可能か？
• RQ5 直線プログラムのサイズと多項式の再構築の複雑性との間にはどのような関係があるか？

主な発見

• 提案されたモンテカルロ補間アルゴリズムは、nTに線形で、log Dに立方に依存するビット複雑性を達成し、有限体上では漸近的に最適である。
• ビット複雑性は、入力多項式のサイズ（nT）に対して、対数要因を除いてほぼ最適である。
• 対数的依存関係を無視した場合、補間プロセスは入力多項式の読み取りと同等に効率的である。
• 複数の多変数多項式の乗算のための漸近的に最適なアルゴリズムが導出され、複雑性は入力と出力サイズの和に対してソフトリー線形である。
• ほとんどの場合、従来の決定的手法よりも、決定的アルゴリズムがビット複雑性において優れている。
• 結果として、与えられた複雑性モデル下で、直線プログラムで符号化された多項式の補間は、入力アクセスよりも著しく高価ではないことが示された。