[論文レビュー] Asymptotics for the solutions of elliptic systems with fast oscillating coefficients

D. I. Borisov|ArXiv.org|Dec 4, 2006

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ゆっくりと速い空間変数に依存する速い振動係数を有する2階楕円型系のリゾルベントの均一ノルム漸近挙動を確立する。BirmanとSuslinaの手法を拡張することで、均質化作用素を構成し、係数の滑らかさと周期性の仮定の下で、$L_2$および$W_2^1$ノルムにおけるスペクトルおよびリゾルベントの収束を証明し、誤差項が$\varepsilon$のオーダーであることを示す。

ABSTRACT

We consider a singularly perturbed second order elliptic system in the whole space. The coefficients of the systems fast oscillate and depend both of slow and fast variables. We obtain the homogenized operator and in the uniform norm sense we construct the leading terms of the asymptotics expansion for the resolvent of the operator described by the system. The convergence of the spectrum is established. The convergence of the spectrum is established. The examples are given.

研究の動機と目的

• $\mathbb{R}^d$における2階楕円型系の均質化を、ゆっくりと速い変数に依存する係数を有するものとして分析すること。
• 均質化作用素を構成し、リゾルベントの均一ノルムにおける1次漸近展開を導出すること。
• すべての均質化スペクトルから分離されたスペクトルパラメータに対して、摂動作用素のスペクトルが均質化作用素に収束することを確立すること。
• 行列$\mathsf{f}_\varepsilon$を用いた変換により、$\varepsilon \to 0$のとき係数が増大する可能性がある系に対しても均質化結果の適用範囲を拡張すること。

提案手法

• 手法はスペクトル理論に依拠し、BirmanとSuslinaの手法を拡張し、滑らかさと周期性の仮定を用いて滑らか化技術を避ける。
• 均質化作用素は、周期的補正子の方法により導出され、補正子は速い変数$\xi = x/\varepsilon$における細胞問題を解く。
• リゾルベントの漸近展開は、$(\mathcal{H}_\varepsilon - \lambda G_\varepsilon)^{-1} = (\mathcal{H}_0 - \lambda G_0)^{-1} + \varepsilon \mathcal{L}_\varepsilon + \text{誤差}$の形で構成され、誤差項は$C\varepsilon$で有界である。
• リゾルベントは$L_2$から$L_2$への作用素および$L_2$から$W_2^1$への作用素として解析され、両方の作用素ノルムにおける収束が保証される。
• 行列$\mathsf{f}_\varepsilon \in W_\infty^1(\mathbb{R}^d; C^{2+\beta}_{\text{per}}(\overline{\square}))$を用いた変換により、$\varepsilon \to 0$のとき係数が増大する系に対しても適用範囲を拡張でき、適用可能な作用素のクラスを広げる。
• 解析では、元の作用素が$\varepsilon$に関して一様に自己随伴的かつ下に半有界であり、係数が$x$および$\xi$の両方に関して一様に有界かつ滑らかであると仮定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 速い振動係数がゆっくりと速い変数に依存する2階楕円型系のリゾルベントは、$\varepsilon \to 0$のときどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ2 このような系に対して、均質化作用素の形は何か？ また、元の系からどのように導出されるか？
• RQ3 摂動作用素のリゾルベントおよびスペクトルが、均一ノルムにおいて均質化作用素のそれらにどの程度の速度で収束するか？
• RQ4 係数が$\varepsilon \to 0$のとき増大する系に対しても、結果を拡張できるか？
• RQ5 物理的または数学的作用素（例：パウリ作用素、弾性作用素など）のどのクラスが、条件を満たし、したがってこのような漸近解析が可能になるか？

主な発見

• 均質化作用素$\mathcal{H}_0$は、速い変数$\xi = x/\varepsilon$における細胞問題の解を用いて明示的に構成され、補正子が周期的かつ滑らかであることが保証される。
• 摂動作用素$\mathcal{H}_\varepsilon$のリゾルベントは、$\mathcal{H}_0$のリゾルベントに$L_2 \to L_2$作用素ノルムにおいて$O(\varepsilon)$の誤差で収束し、$\lambda$が$\mathcal{H}_0$のスペクトルから分離されている限り一様に成り立つ。
• $L_2 \to W_2^1$作用素ノルムにおけるリゾルベントの収束も同様に$O(\varepsilon)$の誤差項で確立され、勾配の強い収束を示している。
• $\mathcal{H}_\varepsilon$のスペクトルは、$\mathcal{H}_0$のスペクトルから離れた有界なスペクトルパラメータに関して、ハウスドルフ距離の意味で$\mathcal{H}_0$のスペクトルに収束する。
• 変換$\widetilde{\mathcal{H}}_\varepsilon = \mathsf{f}_\varepsilon^* \mathcal{H}_\varepsilon \mathsf{f}_\varepsilon$を用いることで、$\varepsilon \to 0$のとき係数が増大する系に対しても、$O(\varepsilon)$の収束速度を保つ。
• 結果は、適切な滑らかさおよび周期性条件の下で、メトリックとポテンシャルを有するパウリ作用素や弾性作用素を含む広いクラスの作用素に適用可能である。