[論文レビュー] Asymptotics of fast rotating density-dependent incompressible fluids in two space dimensions

Francesco Fanelli, Isabelle Gallagher|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2017

Navier-Stokes equation solutions参考文献 25被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、補償コンpaktnネスを用いて真空中や正則性が低い状況を扱うことで、2次元の高速回転する可変密度不圧縮流体の漸近的挙動を分析する。密度の摂動が小さい場合、極限系は密度の揺らぎに起因する追加項を含む均一なナビエ＝ストークス方程式となる。一般の非均一な流れでは、極限は線形であり、渦度と密度の揺らぎによって支配され、運動量方程式の収束は正則性が不十分なために確立されていない。

ABSTRACT

In the present paper we study the fast rotation limit for viscous incompressible fluids with variable density, whose motion is influenced by the Coriolis force. We restrict our analysis to two dimensional flows. In the case when the initial density is a small perturbation of a constant state, we recover in the limit the convergence to the homogeneous incompressible Navier-Stokes equations (up to an additional term, due to density fluctuations). For general non-homogeneous fluids, the limit equations are instead linear, and the limit dynamics is described in terms of the vorticity and the density oscillation function: we lack enough regularity on the latter to prove convergence on the momentum equation itself. The proof of both results relies on a compensated compactness argument, which enables one to treat also the possible presence of vacuum.

研究の動機と目的

• 2次元空間における粘性・非均一不圧縮流体の高速回転極限を分析すること。
• コリolis力が支配的となる場合の漸近的ダイナミクスを理解すること、特に可変密度および真空の存在下での挙動を含む。
• ロウジ数ε → 0 の極限における速度場および密度場の収束結果を、異なる正則性および初期データの仮定の下で確立すること。
• 一般の非均一系において運動量方程式の収束が妨げられる密度揺らぎ関数の正則性不足に対処すること。

提案手法

• ロウジ数εを小パrameterとする特異摂動法に基づく分析であり、高速回転をモデル化する。
• 2次元における非均一不圧縮ナビエ＝ストークス＝コリオリ方程式であり、コリオリ項は1/εに比例する。
• 真空中や正則性が低い状況でも一様な推定を導出し、極限に至るため、補償コンパクトネスが用いられる。
• 非線形項を臨界Besov空間およびSobolev空間で制御するため、Bonyのパラプロダクト分解および交換子推定に依存する。
• エネルギー推定および補間不等式（Gagliardo-Nirenberg）を用いて、速度および密度の揺らぎのノルムを制御する。
• 極限ダイナミクスは渦度および密度揺らぎ関数によって特徴付けられ、一般系では密度揺らぎ関数の正則性が不十分なため運動量方程式の収束は成立しない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期密度が定数状態からの小さな摂動である場合、2次元における高速回転する可変密度不圧縮流体の極限系は何か？
• RQ2 一般の非均一初期データに対して、ε → 0 の極限で系はどのように振る舞うか。特に密度揺らぎ関数の正則性が不十分な場合に注目する。
• RQ3 非均一流体において運動量方程式を極限で回復できるか。それとも正則性不足が収束を妨げるか。
• RQ4 補償コンパクトネスは、この特異摂動問題における真空および低正則性解を扱う上で果たす役割は何か。
• RQ5 コリオリ力と不圧縮制約が、漸近的状態でどのように作用し合い、準地軸的ダイナミクスを生じさせるか。

主な発見

• 初期密度が定数状態からの小さな摂動である場合、極限系は密度揺らぎに起因する追加項を含む均一不圧縮ナビエ＝ストークス方程式となる。
• 一般の非均一系では、極限ダイナミクスは渦度と密度揺らぎ関数を含む線形系によって支配される。
• 密度揺らぎ関数の極限における正則性が不十分なため、運動量方程式の収束は確立できない。
• 補償コンパクトネスの議論により、真空中や低正則性の状況でも一様推定および収束が可能になる。
• 臨界Sobolev空間およびBesov空間における積の連続性の性質が、極限過程における非線形項の取り扱いに不可欠であることが明らかになった。
• 本研究は、定数密度流体に関する先行研究を可変密度系に拡張し、特に海洋流体および地球流体力学の文脈において重要である。