[논문 리뷰] Asymptotics of the stress concentration in high-contrast elastic composites

Haigang Li, Longjuan Xu|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 14.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 49인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 고대비 탄성 복합재료에서 밀도가 높은 포함체 간의 간격이 매우 좁아질 때, 라마 시스템의 해의 기울기의 渐近적 폭발 표현을 수립한다. 여기서 물성 계수는 무한으로 수렴한다. 연구는 응력 집중의 폭발 속도가 인접한 표면의 상대적 볼록도에 의존함을 규명하고, 명시적인 폭발 인자 행렬을 도출하여, 이러한 매체에서의 바부쉬카 문제를 완전히 해결한다.

ABSTRACT

A long-standing area of materials science research has been the study of electrostatic, magnetic, and elastic fields in composite with densely packed inclusions whose material properties differ from that of the background. For a general elliptic system, when the coefficients are piecewise Hölder continuous and uniformly bounded, an $\varepsilon$-independent bound of the gradient was obtained by Li and Nirenberg \cite{ln}, where $\varepsilon$ represents the distance between the interfacial surfaces. However, in high-contrast composites, when $\varepsilon$ tends to zero, the stress always concentrates in the narrow regions. As a contrast to the uniform boundedness result of Li and Nirenberg, in order to investigate the role of $\varepsilon$ played in such kind of concentration phenomenon, in this paper we establish the blow-up asymptotic expressions of the gradients of solutions to the Lamé system with partially infinite coefficients in dimensions two and three. We discover the relationship between the blow-up rate of the stress and the relative convexity of adjacent surfaces, and find a family of blow-up factor matrices with respect to the boundary data. Therefore, this work completely solves the Babuuska problem on blow-up analysis of stress concentration in high-contrast composite media. Moreover, as a byproduct of these local analysis, we establish an extended Flaherty-Keller formula on the global effective elastic property of a periodic composite with densely packed fibers, which is related to the "Vigdergauz microstructure" in the shape optimization of fibers.

연구 동기 및 목표

• 밀도가 높은 포함체를 가진 고대비 탄성 복합재료에서 오랫동안 남아있던 바부쉬카 문제의 응력 집중 현상을 해결하기 위해.
• 포함체 간 거리 ε가 0으로 수렴할 때 라마 시스템의 해의 기울기의 점근적 행동을 분석하기 위해.
• 폭발 속도가 표면 경계의 기하적 성질, 특히 상대적 볼록도에 어떻게 의존하는지 규명하기 위해.
• 경계 데이터와 기하학적 형태에 따라 달라지는 명시적인 폭발 인자 행렬을 유도하기 위해.
• 밀도가 높은 섬유로 구성된 정현적 복합재료의 전반적 효과 탄성 성질에 대한 플라허니-켈러 공식을 확장하기 위해.

제안 방법

• 두 차원 및 세 차원에서 부분적으로 무한한 계수를 가진 라마 시스템을 분석하기 위해 섭동 접근법을 사용한다.
• 좁은 영역에서 기울기의 증가를 제어하기 위해 커팅 함수와 에너지 추정을 기반으로 한 반복적 기법을 적용한다.
• L² 및 L∞ 기울기 추정을 유도하기 위해 부분적 적분, 헬더 부등식, 코시 부등식을 활용한다.
• 간격 ε에 따라 변하는 행동을 다루기 위해 신중하게 선택된 커팅 반경을 가진 이진 반복 기법을 도입한다.
• 스케일링 추론과 국소 L∞ 추정을 사용하여 기울기를 거리 ε과 경계 기하학에 따라 유계로 제한한다.
• 포함체 사이의 좁은 라이게먼트 근처에서 기울기 행동의 점근적 분석을 통해 폭발 인자 행렬을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고대비 탄성 복합재료에서 밀접하게 배열된 포함체 간 거리 ε이 0으로 수렴할 때, 변위장의 기울기는 어떻게 폭발하는가?
• RQ2 폭발 속도가 인접한 경계 표면의 상대적 볼록도에 어떻게 정확히 의존하는가?
• RQ3 경계 데이터와 기하학적 형태가 응력 집중에 미치는 영향을 반영하는 명시적인 폭발 인자 행렬을 도출할 수 있는가?
• RQ4 기울기의 점근적 행동은 밀도가 높은 섬유로 구성된 정현적 복합재료의 효과 탄성 성질과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 기존의 플라허니-켈러 공식은 고대비 및 밀도가 높은 섬유 배열을 고려하여 어느 정도까지 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 응력 기울기의 폭발 속도는 인접한 표면의 상대적 볼록도와 정량적으로 연관되어 있으며, 더 강한 볼록도일수록 더 빠른 폭발을 보인다.
• 경계 데이터와 포함체 기하학에 따라 달라지는 명시적인 폭발 인자 행렬의 가족이 도출되었다.
• 고대비 포함체의 경우 폭발 속도가 ε^(−1) 비례로 스케일링되며, 고차항 보정은 차원과 상대적 볼록도에 따라 달라진다.
• |z′| ≤ ε^(1/m) 인 경우, 기울기 폭발은 α = 1,…,d에 대해 Cε^d × ε^(2(m−2)/m)로 유계이며, α = d+1,…,d(d+1)/2에 대해 Cε^d로 유계이다.
• |z′| > ε^(1/m) 인 경우, 폭발 속도는 α = 1,…,d에 대해 |z′|^(md) × |z′|^(2(m−2))로 스케일링되며, α = d+1,…,d(d+1)/2에 대해 |z′|^(md)로 스케일링된다.
• 밀도가 높은 섬유로 구성된 정현적 복합재료에 대해 확장된 플라허니-켈러 공식이 수립되었으며, 이는 효과 탄성 모odulus와 비그더가우즈 미세구조 사이의 관계를 연결한다.