[논문 리뷰] Asymptotics of Toeplitz operators and applications in TQFT

Jørgen Ellegaard Andersen, Jakob Lindblad Blaavand|arXiv (Cornell University)|2011. 06. 08.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 32인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 기하적 양자화를 통해 평면 SU(n) 접속의 모듈리 공간의 기하학을 이용하여, 매핑 클래스 군의 SU(n) 양자 표현의 渐近적 충실성( asymptotic faithfulness )을 확립한다. 히친 접속과 토플리츠 연산자를 사용하며, 이 표현들이 큰 수준에서 군의 구조를 충실하게 반영함을 증명한다. 또한 복소構조에 종속되지 않는 형식적 베레진-토플리츠 스타곱을 구축하며, 아벨 경우의 명시적 예제도 제시한다.

ABSTRACT

In this paper we provide a review of asymptotic results of Toeplitz operators and their applications in TQFT. To do this we review the differential geometric construction of the Hitchin connection on a prequantizable compact symplectic manifold. We use asymptotic results relating the Hitchin connec- tion and Toeplitz operators, to, in the special case of the moduli space of flat SU(n)-connections on a surface, prove asymptotic faithfulness of the SU(n) quantum representations of the mapping class group. We then go on to re- view formal Hitchin connections and formal trivializations of these. We discuss how these fit together to produce a Berezin-Toeplitz star product, which is independent of the complex structure. Finally we give explicit examples of all the above objects in the case of the abelian moduli space. We furthermore discuss an approach to curve operators in the TQFT associated to abelian Chern-Simons theory.

연구 동기 및 목표

• 기하적 양자화를 통해 매핑 클래스 군의 SU(n) 양자 표현의 渐近적 충실성( asymptotic faithfulness )을 확립한다.
• 예비 양자화 가능한 쌍곡형 다양체의 맥락에서 히친 접속과 토플리츠 연산자를 연결한다.
• 모듈리 공간에서 복소構조에 종속되지 않는 형식적 베레진-토플리츠 스타곱을 구축한다.
• 아벨 모듈리 공간의 경우에 명시적인 구성과 예를 제공한다.
• 아벨 초전도 이론 TQFT에서 곡선 연산자에 대한 프레임워크를 개발한다.

제안 방법

• 예비 양자화 가능한 컴act 쌍곡형 다양체 위에서 히친 접속의 미분기하학적 구성 방법을 사용한다.
• 큰 수준 한계에서 히친 접속과 토플리츠 연산자 사이의 渐近적 분석을 적용한다.
• 형식적 히친 접속과 형식적 자명화의 체계를 활용하여 스타곱을 유도한다.
• 토플리츠 연산자의 渐近적 전개를 통해 베레진-토플리츠 스타곱을 구성하며, 복소構조에 종속되지 않음을 보장한다.
• 대칭 행렬에 대한 행렬 미분과 도함수 규칙을 사용하여 심플렉틱 구조와 복소구조 연산자를 계산한다.
• 표면에서 고정된 호로노미를 가진 평면 SU(n) 접속의 모듈리 공간에 기하적 양자화 프레임워크를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매핑 클래스 군의 SU(n) 양자 표현은 큰 수준 한계에서 여전히 충실한가?
• RQ2 모듈리 공간에서 평면 접속에 대해 히친 접속은 큰 수준에서 渐近적( asymptotically )으로 토플리츠 연산자와 관련이 있는가?
• RQ3 모듈리 공간에 대해 복소구조에 종속되지 않는 형식적 베레진-토플리츠 스타곱이 존재하는가?
• RQ4 WZW 이론과 스케인 이론을 통한 TQFT의 기하학적·대수적 구성은 기하적 양자화와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 아벨 초전도 이론 TQFT에서 곡선 연산자의 명시적 형태는 무엇인가?

주요 결과

• 수준 k가 무한대에 가까워질수록 SU(n) 양자 표현은 매핑 클래스 군에 대해 渐近적 충실성( asymptotic faithfulness )을 가진다.
• 평면 SU(n) 접속의 모듈리 공간에서 큰 k 한계에서 히친 접속과 토플리츠 연산자는 渐近적( asymptotically )으로 동치이다.
• 모듈리 공간의 복소구조 선택에 종속되지 않는 형식적 베레진-토플리츠 스타곱이 구축된다.
• 행렬 도함수와 복소구조의 허수부의 역행렬을 사용하여 심플렉틱 형식과 복소구조 연산자의 명시적 공식이 도출된다.
• 아벨 경우에서 형식적 히친 접속과 스타곱은 명시적인 실현을 가지며, 일반 체계의 구체적 예를 제공한다.
• 아벨 초전도 이론에서 곡선 연산자의 구성은 토플리츠 연산자와 히친 접속의 체계를 통해 개발된다.