[論文レビュー] Automatic quasiconvexity of homogeneous isotropic rank-one convex integrands

André Guerra, Jan Kristensen|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2021

Optimization and Variational Analysis参考文献 70被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、バーグホルダー汎関数 Bp が準凸であるという条件付き仮定の下で、R²×² 上の非負で等方的かつランク1凸で p-斉次な汎関数が、p ≤ 2 のとき等角行列において準凸であり、p ≥ 2 のとき多変量凸であることを確立する。主な貢献は、Bp の準凸性が、そのクラス全体の準凸性を示すことであり、p ≥ 2 のとき Bp の正の部分が多変量凸であることを示すことにある。

ABSTRACT

We consider the class of non-negative rank-one convex isotropic integrands on $\mathbb{R}^{n imes n}$ which are also positively $p$-homogeneous. If $p \leq n = 2$ we prove, conditional on the quasiconvexity of the Burkholder integrand, that the integrands in this class are quasiconvex at conformal matrices. If $p \geq n = 2$, we show that the positive part of the Burkholder integrand is polyconvex. In general, for $p \geq n$, we prove that the integrands in the above class are polyconvex at conformal matrices. Several examples imply that our results are all nearly optimal.

研究の動機と目的

• 非負で等方的かつ p-斉次な R²×² 上の汎関数について、ランク1凸性が準凸性を意味するかを調査すること。
• そのような汎関数が等角行列において準凸性および多変量凸性を示すかを特定すること。
• バーグホルダー汎関数 Bp の準凸性が、そのクラス全体の準凸性を示すのに十分であることを確立すること。
• p ≥ 2 のとき、バーグホルダー汎関数 B⁺p の正の部分の多変量凸性を分析すること。
• 微分および双対性作用素を用いて関連する汎関数に帰着する結果を導出すること。

提案手法

• R²×² 上の等方的で p-斉次かつランク1凸な汎関数の構造を用い、演算子ノルムと行列式を用いて汎関数を記述する関数 h(t, d) に問題を還元する。
• 変数変換を適用し、A のノルム t = |A| と行列式 d = det A を用いて、関数 h(t, d) を定義する。この関数は領域 S ⊂ R⁺ × R 上で定義される。
• 正の部分 h⁺(t, d) を分析し、線分上での挙動を検討し、h⁺ > 0 となる集合の相対的開性を用いてその凸性を証明する。
• |A⁻| と det A が2次元で凸であることに基づき、支持超平面不等式を用いて準凸性を確立する。
• 次元 n=3 における反例を用いて、p > 3 のとき B⁺p が多変量凸でないことを示し、結果の鋭さを示す。
• p=2 における B⁺p に対して双対性および微分を適用し、変換 F ↦ F(A⁻¹)det A を用いて新たな多変量凸汎関数 cB♯ を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p ≤ 2 において、バーグホルダー汎関数 Bp が準凸であると仮定したとき、非負で等方的かつ p-斉次な R²×² 上の汎関数について、ランク1凸性が準凸性を意味するか？
• RQ2 2次元において、バーグホルダー汎関数 B⁺p の正の部分は p ≥ 2 のとき多変量凸か？
• RQ3 バーグホルダー汎関数 Bp の準凸性が、より広いクラスの汎関数の準凸性を示すのに十分か？
• RQ4 結果は最適か、それとも高次元や異なる斉次次数に拡張可能か？
• RQ5 p=2 で B⁺p を微分して得られる汎関数の構造は何か？そしてそれは多変量凸か？

主な発見

• p ≤ 2 のとき、R²×² 上の非負で等方的かつランク1凸で p-斉次な汎関数のクラスは、バーグホルダー汎関数 Bp が準凸であるという仮定の下で、等角行列において準凸である。
• p ≥ 2 のとき、バーグホルダー汎関数 B⁺p の正の部分は R²×² 上で多変量凸である。
• 次元 n=3 において、p > 3 のとき B⁺p は多変量凸でない。これは、この方向における結果の鋭さを示している。
• |A| と det A を用いて記述される関数 h⁺(t, d) はその定義域上で凸であるため、多変量凸性の証明が可能である。
• B⁺p を p=2 で微分すると、B♯(A) = 1/2(|A|² + det A log|A|²) という新たな汎関数が得られ、これは多変量凸である。
• B♯ に双対性の対合 F ↦ F(A⁻¹)det A を適用すると、cB♯(A) = 1/2(|A|²/det A + log(|A|²/det A) - log det A) が得られ、これも多変量凸である。