[論文レビュー] Autour de l'exposant critique d'un groupe kleinien

Marc Peigné|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ピンチングされた負の曲率を持つ単連結リーマン多様体 X 上で作用するクライン群 Γ の臨界指数 δΓ を調査し、それが軌道数関数の成長率とポincare級数の収束半径に等しいことを確立している。主要な結果として、δΓ ≥ ½δN(Γ) が成り立ち、N(Γ) が発散する場合には厳密な不等号が成り立つ。これは、共形密度とシャドウ原理を介して群の力学的性質と幾何的・エルゴディック的性質を結びつける。

ABSTRACT

We present here some basic properties around the Poincaré exponent of a discrete group of isometries in pinched negatived curvature. We state some important results and present the main tools which are used in this domain.

研究の動機と目的

• ピンチングされた負の曲率を持つ多様体における等距変換の離散群の臨界指数 δΓ を分析すること。
• δΓ、軌道数関数 NΓ(R) の成長率、および Poincaré級数 ∑γ∈Γ e−s(x,γ·y) の収束との関係を明確にすること。
• 特に共形密度とシャドウ原理を用いて、正規化群 N(Γ) を通じて δΓ の上限を確立すること。
• 発散、体積エントロピー、準不変性などの幾何的・力学的性質が臨界指数に与える影響を調査すること。

提案手法

• 軌道数関数 NΓ(x,y,R) = # {γ ∈ Γ : d(x,γ·y) ≤ R} を用いて、臨界指数を δΓ = limsupR→∞ (1/R) ln NΓ(R) として定義する。
• 補題 1.0.1 を適用し、NΓ(R) の臨界指数と、環状数関数 nΓ(R,Δ) の臨界指数が等しいことを示す。
• Poincaré級数 PΓ(x,y,s) = ∑γ∈Γ e−s d(x,γ·y) を用い、s > δΓ で収束し、s < δΓ で発散することを示す。
• シャドウ原理とSullivanの補題を用いて、特に正規化群 N(Γ) の場合に共形密度 μ ∈ Conf(Γ,δ) のノルムの成長を分析する。
• g ∈ N(Γ) における共形密度の準等角変換則を用い、不等式 δΓ ≥ ½δN(Γ) を導出する。
• エルゴディシティと測度同値性の議論を用いて、N(Γ) が発散する場合には背理法とVitali型被覆を介し、厳密な不等号を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クライン群 Γ の臨界指数 δΓ は、その軌道数関数 NΓ(R) の成長率とどのように関係しているか。
• RQ2 Γ の正規化群 N(Γ) の臨界指数 δN(Γ) と δΓ の正確な関係は何か。
• RQ3 δΓ = ½δN(Γ) が成り立つ条件は何か。また、不等号が厳密になるのはいつか。
• RQ4 ピンチングされた曲率や凸コンパクト性といった幾何的制約は、臨界指数およびポincare級数の収束にどのように影響を与えるか。
• RQ5 シャドウ原理は、共形密度の成長を制御し、δΓ の上限を導出する際に果たす役割は何か。

主な発見

• 補題 1.0.1 により、臨界指数 δΓ は、軌道数関数 NΓ(R) および環状数関数 nΓ(R,Δ) の両方の成長率と等しい。
• Poincaré級数 PΓ(x,y,s) は s > δΓ で収束し、s < δΓ で発散するため、δΓ が収束半径として正当化される。
• H^d におけるコアーマン群では δΓ = d−1 であり、一般には δΓ = hvol(X)（X の体積エントロピー）となる。
• 任意のクライン群 Γ に対して不等式 δΓ ≥ ½δN(Γ) が成り立ち、等号が成り立つのは N(Γ) が発散する場合に限る。
• N(Γ) が発散する場合、δΓ > ½δN(Γ) となり、不等号は厳密である。これはエルゴディシティと共形密度の測度同値性を用いて証明される。
• N(Γ)/Γ がアーベル的である場合、δΓ = δN(Γ) が成り立ち、H^{n+1} において凸コンパクト性と δN(Γ) > n/2 の下で逆は部分的に証明されている。