[論文レビュー] Autour de la cohomologie de Bott-Chern

Michel Schweitzer|ArXiv.org|Sep 21, 2007

Geometry and complex manifolds参考文献 3被引用数 76

ひとこと要約

この論文は、複素多様体におけるBott-Chernコホモロジーの包括的な理論を構築し、そのホッジ理論、ハイパーコホモロジー的解釈、および整数構造を確立する。自然な整数的Bott-Chernコホモロジーを導入し、特異な線形束および一様な層のチャーン類を定義し、分割原理と古典的チャーン類との整合性を証明することで、ケーラー多様体を超える複素幾何学の基盤的枠組みを提供する。

ABSTRACT

The goal of the memoir is to develop a new cohomology theory which encompasses De Rham and Dolbeault cohomology as well as Deligne Beilinson cohomology, in the context of general complex analytic manifolds. The special case of the Iwasawa manifold is investigated as a typical example of what occurs in the non Kähler case. Elementary applications to the Kodaira-Spencer deformation theory and to the calculation of Chern classes are given.

研究の動機と目的

• 一般の複素多様体に対するBott-Chernコホモロジーの体系的理論を構築し、ケーラーの場合を超えて展開すること。
• ホッジ理論的枠組みをBott-Chernコホモロジーに確立し、同型および双対性を含むこと。
• 整数的Bott-Chernコホモロジー群を定義し、古典的チャーン類との整合性を検討すること。
• 分割原理とファンクター理論を用いて、正則線形束および一様な層のチャーン類を構成すること。
• ハイパーコホモロジー的解釈をBott-Chernコホモロジーに与え、デリーニュコホモロジーおよびČech代表元と結びつけること。

提案手法

• $d$-閉じた$(p,q)$-形式の集合を$\partial\overline{\partial}$-正確な形式で割ったものとしてBott-Chernコホモロジーを定義すること。
• ケーラーの場合の$\partial\overline{\partial}$-補題を用いて、Bott-Chernコホモロジーにおけるホッジ同型を確立すること。
• 層の複体のハイパーコホモロジーを用いてBott-Chernコホモロジーを解釈すること、特に複体$\mathcal{B}^\bullet$を通じて。
• $\partial\overline{\partial}$-分解を構成し、Bott-Chernコホモロジーとデリーニュコホモロジーを関連付けること。
• フラッグ多様体による分割原理を適用し、整数的Bott-Chernコホモロジーにおけるチャーン類を定義すること。
• 局所自由層による分解とファンクター理論を用いて、一様な層のチャーン類を定義すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ケーラーな複素多様体に対して、Bott-Chernコホモロジーを体系的にどのように展開できるか？
• RQ2 Bott-Chernコホモロジーのホッジ理論的構造は何か？ また、ドレーブールコホモロジーおよびドレームコホモロジーとどのように関係するか？
• RQ3 古典的チャーン類と整合する整数構造をBott-Chernコホモロジーに定義できるか？
• RQ4 Bott-Chernコホモロジーを用いて、一様な層へのチャーン類をどのように拡張できるか？
• RQ5 Bott-Chernコホモロジーのハイパーコホモロジー的解釈は何か？ また、デリーニュコホモロジーとどのように関係するか？

主な発見

• ケーラーの場合、Bott-Chernコホモロジーはドレーブールコホモロジーおよびドレームコホモロジーと同型であり、$\partial\overline{\partial}$-補題により同値であることが保証される。
• イワサワ多様体では、Bott-Chernコホモロジー群がドレーブール群およびドレーム群と異なることが示され、非ケーラー的性質が明確に現れる。
• 整数的Bott-Chernコホモロジー$H^{p,q}_{BC}(X,\mathbb{Z})$が定義され、ファンクター理論的性質および古典的チャーン類との整合性を満たす。
• 分割原理が成り立つ：任意のベクトル束$E$に対して、正則写像$f:Y\to X$が存在し、$f^*E$がラインバンドル商を持つフィルトレーションを持ち、$f^*$が$H^{\bullet,\bullet}_{BC}(X,\mathbb{Z})$上で単射である。
• 整数的Bott-Chernコホモロジーにおけるチャーン類は適切に定義されており、チャーン類の公理（特に積構造によるホイットニーの和公式）を満たす。
• 一様な層に対しては、局所自由層による分解とファンクター理論を用いてチャーン類が定義され、ヒロナカの特異点解消を用いてねじれ層へも拡張可能である。