[論文レビュー] Auxiliary Variable Markov Chain Monte Carlo for Spatial Survival and Geostatistical Models

Benjamín M. Taylor|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2015

Spatial and Panel Data Analysis参考文献 62被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、個々のサンプルの空間的フレイルティを定期的グリッド上の補助変数に置き換えることで、空間生存モデルおよびジオスタティスティカルモデルにおけるMCMCの計算コストをO(n³)からO(n)に削減する補助変数を用いたマルコフ連鎖モンテカルロ（MCMC）手法を提案する。この手法により、O(m log m)の計算コストでグリッド解像度を高めながら、効率的なベイズ推論と空間予測が可能となり、大規模データセットにおけるスケーラビリティが著しく向上する。

ABSTRACT

This article was motivated by the desire to improve Markov chain Monte Carlo methods for spatial survival models in which the locations of individuals in space are known. For a dataset comprising information on n individuals, standard methods of MCMC-based inference involve computing the inverse of an n by n matrix at each iteration. However with a judicious choice of auxiliary variables on a regular grid with m prediction points it will be shown how to fit an essentially equivalent model but with a substantially reduced computational cost. For a fixed output grid, the computational cost of the new method is reduced from O(n^3) to O(n); the cost of increasing the output grid size being O(m\log m). Furthermore, the new method simultaneously solves the problem of spatial prediction of functions of the latent field, which for standard methods usually presents a further computational challenge. We apply the new method to a spatial survival dataset previously analysed in Henderson et. al 2002 and show how the new method can be applied to spatial and spatiotemporal geostatistical datasets with the same computational benefits.

研究の動機と目的

• 空間生存モデルにおけるMCMC推論の高い計算コスト（n×n共分散行列の繰り返し逆行列計算に起因し、O(n³)に比例）を軽減すること。
• 標準的手法と統計的に同等の結果を得つつ、大規模データセットにおける計算負荷を著しく削減する手法を開発すること。
• 通常は別個で高価なステップを要する、潜在場の空間予測問題を同時に解決すること。
• 同様の計算的利点を有する、時空間ジオスタティスティカルモデルへもこの手法を拡張すること。
• 最小限の変更で標準MCMCフレームワークを用いて、空間生存モデルおよびジオスタティスティカルモデルにおける実用的なベイズ推論を可能にすること。

提案手法

• 個々のサンプルの空間的相関フレイルティを置き換えるために、サイズmの定期的グリッド上に補助変数Yを導入する。
• グリッド上での定常ガウス過程を用いて潜在場をモデル化し、行列演算に高速フーリエ変換（FFT）を適用可能にする。
• 個々のフレイルティが最も近いグリッド点にリンクされる階層的構造を採用し、グリッドベースの表現による計算の効率化を実現する。
• FFTに基づく手法により、n×n共分散行列の逆行列計算をO(m log m)の演算に置き換えることで、計算複雑度を低減する。
• 補助変数が空間的依存性を同等に再現するようにすることで、元のモデルと同一の尤度および後erior分布を維持する。
• グリッドベースの潜在場を活用することで、観測されていない場所における空間予測をMCMCスキームに自然に組み込み、別個の予測ステップを不要にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間生存モデルにおけるMCMCのO(n³)計算コストを、統計的正確性を損なわず、O(n)に削減することは可能か？
• RQ2 定期的グリッド上の補助変数が、元のモデルの後erior分布を保持しつつ、高速な計算を可能にするか？
• RQ3 この手法は、通常は別個で高価なステップを要する潜在場の空間予測問題を同時に解決できるか？
• RQ4 データセットサイズおよび空間解像度の増加に伴い、この手法は効率的にスケーリングできるか？
• RQ5 同様の計算的利点を有する時空間ジオスタティスティカルモデルへもこの手法を拡張可能か？

主な発見

• 提案手法により、固定された出力グリッドサイズのもとで、MCMC推論の計算コストをO(n³)からO(n)に削減でき、はるかに大きなデータセットの解析が可能になった。
• 空間グリッド解像度を高めるコストはO(m log m)に比例し、高解像度の空間モデリングが現実可能となった。
• 観測されていない場所における潜在場の空間予測が、MCMCスキームに自然に組み込まれ、別個の計算ステップが不要となった。
• この手法は、空間生存モデルおよびジオスタティスティカルモデル（空間的相関を持つランダム効果を有するポissonおよびガウス過程を含む）の両方へ適用可能である。
• 時空間モデルへも拡張可能で、1反復あたりO(n)の計算コスト、空間解像度の向上にO(m log m)、時間解像度にO(T)のコストを有する。
• MCMC提案のマルチコア並列化により、8コアマシンで受容率が99.9％に上昇し、計算時間を約40％短縮した。