[論文レビュー] Badly approximable vectors on a vertical Cantor set

Erez Nesharim|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 7被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、測度論的およびゲーム論的技法を用いて、垂直カントール集合上における重み付きディオファントス近似条件を満たす悪く近似可能な集合の無限交差の空でないことを確立する。このような交差は、指数βのべき則を満たす測度を備えた基底集合に対して、非可算かつフルハウスドルフ次元を有することを証明し、重みの下界が一様に正であることを仮定しないで、シュミットの予想に関する先行結果を拡張する。

ABSTRACT

For $i, j > 0, i + j = 1$, the set of badly approximable vectors with weight $(i, j)$ is defined by $Bad(i, j) = \{(x, y) \in \R^2 : \exists c > 0 \forall q\in\N, \;\; \max\{q||qx||^{1/i}, q||qy||^{1/j} \} > c\}$, where $||x||$ is the distance of $x$ to the nearest integer. In 2010 Badziahin-Pollington-Velani solved Schmidt's conjecture which was stated in 1982, proving that $Bad(i, j) \cap Bad(j, i)$ is nonempty. Using Badziahin-Pollington-Velani's technique with reference to fractal sets, we were able to improve their results: Assume that we are given a sequence $(i_t, j_t)$ with $i_t, j_t > 0, i_t + j_t = 1$. Then, the intersection of $Bad(i_t, j_t)$ over all t is nonempty.

研究の動機と目的

• バドジアヒン＝ポリントン＝ヴェラーニの2010年証明を、重み付き悪く近似可能な集合の無限交差へと拡張すること。
• 以前の結果で要請されていた liminf min{i_t, j_t} > 0 の仮定を除去し、重要な未解決問題に応えること。
• 基底となる垂直カントール集合がべき則を満たす測度を備える場合、固定された垂直カントール集合と無限個の重み付き悪く近似可能な集合の交差が空でないことを確立すること。
• このような交差がカントールゲーム理論における勝利集合であることを示し、フルハウスドルフ次元を示唆すること。

提案手法

• 線形形式による悪く近似可能な集合の双対的定式化を用い、Bad_c(i,j) を |Ax + By + C| が |A|^{1/i}, |B|^{1/j} の関数によって0から離れているような (x,y) の集合として定義する。
• 測度がべき則 μ(B(x,r)) ≈ r^β を満たすという概念を適用し、交差の次元を特徴付ける。
• 絶対ゲームおよび勝利集合理論を用いる：Bad(i,j) ∩ Θ が R 上で絶対勝利集合であることを示し、フル次元性を示す。
• 正規性条件を満たす区間の木構造的族を構築し、N-絶対ゲームにおけるアリスの勝利戦略を定義する。
• 絶対勝利集合の無限交差性質を用いて、すべての t に対する Bad(i_t,j_t) ∩ C の交差が C 上で勝利集合であることを証明する。
• アン・ジンペンの結果（Bad(i,j) ∩ C が空でない場合に勝利集合である）を用い、ゲーム論的次元結果と組み合わせることで、フル次元性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み (i_t,j_t) が i_t + j_t = 1 かつ liminf min{i_t,j_t} = 0 を満たす場合、重み付き悪く近似可能な集合 Bad(i_t,j_t) の無限交差は空でないか？
• RQ2 重みに一様な正の下界を仮定しない場合、垂直カントール集合と無限個の Bad(i_t,j_t) 集合の交差の次元を特定できるか？
• RQ3 べき則測度を備える垂直カントール集合 C に対して、Bad(i,j) ∩ C の交差は空でかつフル次元のままであるか？
• RQ4 C がべき則測度を備える垂直カントール集合である場合、Bad(i,j) ∩ C はゲーム論的意味での勝利集合であるか？
• RQ5 勝利性と測度のべき則条件のみを用いて、交差のフル次元性を確立できるか？

主な発見

• C が指数βのべき則を満たす測度の台である限り、任意の t に対して ∩_t Bad(i_t,j_t) ∩ C は空でない。
• 任意の β' < β に対して、指数 > β' を持つ Bad(i,j) ∩ C 上に台を持つ測度 ν が存在し、dim(Bad(i,j) ∩ C) = β を示す。
• 集合 Bad(i,j) ∩ Θ は R 上で絶対勝利集合であり、これは任意の可算交差が非可算かつフル次元であることを示唆する。
• C がべき則測度を備える限り、交差 ∩_t Bad(i_t,j_t) ∩ C は C 上で勝利集合であり、したがって Hausdorff次元 dim(C) に等しいフル次元を持つ。
• liminf 条件 min{i_t,j_t} が不要であるため、バドジアヒン＝ポリントン＝ヴェラーニの残された問題を部分的に解決する。
• 勝利集合の性質とべき則測度を備えたメトリック空間上の勝利集合のフル次元性を組み合わせることで、交差のフル次元性を確立する。