[論文レビュー] Balanced truncation and singular perturbation approximation model order reduction for stochastically controlled linear systems

Martin Redmann, Melina A. Freitag|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2016

Model Reduction and Neural Networks参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、加法的 Lévy ノイズで駆動される線形確率的システムに、バランスドトレントレーション（BT）および特異摂動近似（SPA）のモデル次元削減を拡張し、一般化されたリャプノフ方程式を通じて確率的可達性および可観測性グラミアンを導入する。両手法の厳密な誤差境界を導出し、減衰波動方程式に Lévy ノイズを適用した数値的検証により、誤差推定がきわめてタイトであり、次元削減が効果的であることが示された。

ABSTRACT

When solving linear stochastic differential equations numerically, usually a high order spatial discretisation is used. Balanced truncation (BT) and singular perturbation approximation (SPA) are well-known projection techniques in the deterministic framework which reduce the order of a control system and hence reduce computational complexity. This work considers both methods when the control is replaced by a noise term. We provide theoretical tools such as stochastic concepts for reachability and observability, which are necessary for balancing related model order reduction of linear stochastic differential equations with additive Lévy noise. Moreover, we derive error bounds for both BT and SPA and provide numerical results for a specific example which support the theory.

研究の動機と目的

• 制御入力を Lévy ノイズに置き換えた線形確率的システムにおけるモデル次元削減（MOR）の理論的枠組みを構築すること。
• 加法的 Lévy ノイズを伴うシステムにおけるバランスドベースの MOR に適した、確率的可達性および可観測性の概念を導入すること。
• Lévy ノイズを伴う確率的設定下で、バランスドトレントレーション（BT）および特異摂動近似（SPA）の事前誤差境界を導出すること。
• Lévy ノイズを伴う二次元減衰波動方程式に理論を適用し、誤差境界を数値的に検証すること。
• BT および SPA が、Lévy ノイズを伴う確率的システムにおいて、実際の応用で小さな誤差とタイトな誤差境界を達成できることを示すこと。

提案手法

• Lévy ノイズの特性（Lévy プロセスの2次モーメントを含む）を組み込んだ一般化されたリャプノフ方程式を用いて、確率的可達性および可観測性グラミアンを定義する。
• スティリスティックグラミアンのクロスプロダクトを用いたバランスド変換を定式化し、射影に基づくモデル次元削減を可能にする。
• 無視されたハンケル特異値に基づいて、低次元化されたシステムの一般誤差境界を導出し、決定論的誤差境界を確率的状況に拡張する。
• 一般誤差境界を BT および SPA に特化し、誤差が無視された特異値の和に依存することを示す。
• 空間的離散化をスペクトルガレルキン法を用いて行い、得られた高次元システムに MOR を適用することで、2次元減衰波動方程式に手法を適用する。
• 伊藤積分法および半群論を用いて、低次元化されたシステムの収束性を解析し、完全な解と低次元化された解との間の平均二乗誤差の境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バランスドトレントレーションおよび特異摂動近似は、加法的 Lévy ノイズで駆動される線形確率的システムに、厳密に拡張可能か？
• RQ2 Lévy ノイズを伴うシステムのバランスド化を定義するために必要な、可達性および可観測性グラミアンの確率的類似物は何か？
• RQ3 Lévy ノイズを伴う確率的システムの文脈において、BT および SPA のための事前誤差境界をどのように導出できるか？
• RQ4 実際の応用（例：確率的偏微分方程式）において、誤差境界はどのように振る舞い、タイトであるか？
• RQ5 提案された MOR 手法は、Lévy ノイズを伴う2次元減衰波動方程式に成功裏に適用可能であり、精度を保持するか？

主な発見

• 本稿は、一般化されたリャプノフ方程式を通じた確率的グラミアンの導入により、加法的 Lévy ノイズを伴う線形確率的システムにバランスドトレントレーションおよび特異摂動近似を成功裏に拡張した。
• BT および SPA の両方について誤差境界を導出し、それが無視されたハンケル特異値の和に依存することを示した。これは、決定論的誤差境界を確率的状況に一般化した結果である。
• 誤差境界はタイトであり、Lévy ノイズを伴う2次元減衰波動方程式において数値的に検証された。実際の応用では小さな誤差が観察された。
• 数値結果により、BT および SPA が、Lévy ノイズの励起下でも、システムの挙動の最小限の損失を伴って高精度な低次元化モデルを生成することが確認された。
• 半群論および伊藤等長性を用いて、低次元化されたシステムが完全なシステムに収束することを理論的に確立し、低次元化された次元が増加するに従い、平均二乗誤差がゼロに近づくことが示された。
• 本フレームワークは、繰り返しサンプリングを要するモンテカルロシミュレーションに特に有用な、高次元の Lévy ノイズを伴う確率的システムの MOR に対して、実用的かつ理論的に妥当なアプローチを提供する。