[論文レビュー] Base phi representations and golden mean beta-expansions

Michel Dekking|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2019

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、黄金比 φ を用いた基数 φ 展開における自然数の表現において、任意の固定された位置 k における桁の 1 の位置が、黄金比 φ を含む一般化されたベッチ数列によって正確に与えられることを示すことにより、2 つの長年の予想を証明している。モルフィズム、フィボナッチ語、およびラウス数を用いた再帰的分解を通じて、桁 d_k(N) = 1 を満たす自然数の集合の正確な公式が導出され、β 展開と語の組合せ論の間の深い関係が確立されている。

ABSTRACT

In the base phi representation any natural number is written uniquely as a sum powers of the golden mean with digits 0 and 1, where one requires that the product of two consecutive digits is always 0. In this paper we give precise expressions for the those natural numbers for which the $k$th digit is 1, proving two conjectures for $k=0,1$. The expressions are all in terms of generalized Beatty sequences.

研究の動機と目的

• 自然数の基数 φ 展開における 0 番目および 1 番目の小数位置における桁 1 の位置に関する 2 つの未解決予想を解消すること。
• 基数 φ 表現における任意の桁位置 k ≥ 0 における桁 1 の位置の特徴付けを一般化すること。
• 基数 φ 展開における桁の分布と黄金比から導かれる一般化されたベッチ数列との正確な関係を確立すること。
• モルフィズムとラウス数の区間を用いた再帰的フレームワークを構築し、基数 φ 展開の構造を分析すること。

提案手法

• 4 文字のアルファベット上でフィボナッチモルフィズム γ を用いて、基数 φ 展開の構造を符号化する無限語を生成する。
• 黄金比 φ を含む形 V(n) = p⌊nφ⌋ + qn + r の一般化されたベッチ数列を定義し、桁 1 の位置をモデル化する。
• 数列における1階差分作用素 Δ を用いて、特定のアルファベット上のフィボナッチ語と桁のパターンを関連付ける。
• ラウス数を用いた区間 [L_{2n+1}+1, L_{2n+2}-1] の再帰的分解を適用し、桁の分布を分析する。
• d_k(N) = 1 であるような数列が、偶数 k に対してアルファベット {L_{2k+2}, L_{2k+1}} 上のフィボナッチ語に対応することを証明し、これにより補題 2.1 を用いた正確な特徴付けが可能になる。
• 同様の再帰的およびモルフィズムに基づく技術を用いて、奇数 k および負の k 位置への分析を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自然数 N に対して、基数 φ 展開における 0 番目の桁 d_0(N) = 1 となるのはどのような場合か？
• RQ2 自然数 N に対して、基数 φ 展開における 1 番目の桁 d_1(N) = 1 となるのはどのような場合か？
• RQ3 固定された k ≥ 0 に対して、d_k(N) = 1 を満たす自然数 N の集合の正確な特徴付けは何か？
• RQ4 桁 1 が位置 k に現れる位置は、一般化されたベッチ数列および黄金比とどのように関係しているか？
• RQ5 モルフィズムとラウス数の区間を用いて、基数 φ 展開の再帰的構造を完全に捉えることができるか？

主な発見

• 本稿は予想 1 を証明した：d_0(N) = 1 であることは、ある n ∈ ℕ に対して N = ⌊nφ⌋ + 2n + 1 または N = 1 であることと同値である。
• 本稿は予想 2 を証明した：d_1(N) = 1 であることは、ある n ∈ ℕ に対して N = ⌊nφ⌋ + 2n - 1 であることと同値である。
• 任意の偶数 k ≥ 0 に対して、d_k(N) = 1 を満たす N の集合は、N = L_{2k}⌊nφ⌋ + L_{2k-1}n + r で与えられ、ここで r ∈ {−L_{2k-1}, −L_{2k-1}+1} である。
• 任意の奇数 k ≥ 1 に対して、d_k(N) = 1 を満たす N の集合は、N = L_{2k}⌊nφ⌋ + L_{2k-1}n + r で与えられ、ここで r ∈ {−L_{2k-1}+1, −L_{2k-1}+2} である。
• 位置 k における桁 1 の分布は、アルファベット {L_{2k+2}, L_{2k+1}} 上のフィボナッチ語に対応し、これにより一般化されたベッチ数列を用いた正確な特徴付けが可能になる。
• 負の k に対して、たとえば k = −2 の場合、d_{-2}(N) = 1 であるのは、N = 4⌊nφ⌋ + 3n + r（r ∈ {2,3,4}）のときである。これは、この手法が小数桁の位置に対しても拡張可能であることを示している。