[論文レビュー] Batalin-Vilkovisky structure over the Hochschild cohomology ring of a group algebra

Yuming Liu, Guodong Zhou|arXiv (Cornell University)|May 14, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、群代数のホッフシュイルドコホモロジー環の加法的分解を、コチェーンのレベルで明示的に実現し、カップ積、バタリン＝ヴィルコビッチ（BV）作用素、ゲルステンハーバーのリー括弧の公式を、群コホモロジーの成分で記述する。集合的自己ホモトピー法を用いて比較写像を構成することで、BV構造が加法的分解を尊重することを示し、$ H^*(G,k) $ が $ HH^*(kG) $ のBV部分代数として埋め込まれることを示した。これにより、非可換代数に対する初めての明示的BV構造の計算が可能となり、特に $ \mathbb{F}_3 $ 上の対称群 $ S_3 $ に対して実行された。

ABSTRACT

We realize explicitly the well-known additive decomposition of the Hochschild cohomology ring of a group algebra in the elements level. As a result, we describe the cup product, the Batalin-Vilkovisky operator and the Lie bracket in the Hochschild cohomology ring of a group algebra.

研究の動機と目的

• 群代数 $ HH^*(kG) $ の加法的分解 $ \bigoplus_{x \in X} H^*(C_G(x), k) $ を、要素レベルで明示的に実現すること。ここで $ X $ は共役類代表元の集合である。
• カップ積、バタリン＝ヴィルコビッチ（BV）作用素、ゲルステンハーバーのリーブラケットを、加法的分解の成分を用いて $ HH^*(kG) $ 内で記述すること。
• BV作用素とリーブラケットが分解のもとで各和成分に制限されること、および $ H^*(G,k) $ が $ HH^*(kG) $ のBV部分代数であることを示すこと。
• 非可換代数に対する、初めての完全なBV構造の計算を実行すること：$ \mathbb{F}_3 $ 上の $ kS_3 $ のホッフシュイルドコホモロジー。

提案手法

• 群代数 $ kG $ の正規化バーレゾリューションを用い、共役類 $ x \in X $ で添え字づけられたコチェーン複体 $ \mathcal{H}_x^* $ を定義する。ここで $ \mathcal{H}_x^n $ は $ k[g_1\cdots g_n C_x] $ に値をとるコチェーンからなる。
• 写像 $ \varphi_1 \mapsto \varphi_2(g_1,\dots,g_n) = \varphi_1(g_1,\dots,g_n) g_n^{-1}\cdots g_1^{-1} $ を通じて、$ \mathcal{H}_x^* $ と $ \operatorname{Hom}_{kG}(Bar_*(kG) \otimes_{kG} k, kC_x) $ の間に明示的な同型を構成する。この複体は $ H^*(G, kC_x) $ を計算する。
• Le と Zhou (2011) が提示した集合的自己ホモトピー法を応用し、分解の同型を構成するための比較写像を簡略化する。
• カップ積の明示的公式を導出する。分解が $ H^*(G,k) $-加群構造を尊重することを示し、$ HH^*(kG) \simeq \bigoplus_{x \in X} H^*(C_G(x), k) $ が、$ H^*(G,k) $-加群としての同型であることを示す。
• BV作用素 $ \Delta $ が各和成分 $ H^*(C_G(x), k) $ に制限されることを証明し、$ H^*(G,k) \subset HH^*(kG) $ がBV部分代数であることを示す。
• 導出された公式を用いて、非可換代数に対して初めての完全なBV構造の計算を実行した：$ HH^*(\mathbb{F}_3 S_3) $ の全構造、$ \Delta $ の作用およびリーブラケットの作用を明示的に計算した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 加法的分解 $ HH^*(kG) \simeq \bigoplus_{x \in X} H^*(C_G(x), k) $ は、コチェーンレベルでどのように明示的に実現できるか？
• RQ2 この分解のもとで、カップ積、BV作用素 $ \Delta $、ゲルステンハーバーのリーブラケットの明示的公式は何か？
• RQ3 BV作用素 $ \Delta $ は分解の各和成分を保存するか？また、$ H^*(G,k) $ は $ HH^*(kG) $ のBV部分代数であるか？
• RQ4 非可換群代数に対して、完全なBV構造を明示的に計算できるか？また、$ \mathbb{F}_3 S_3 $ に対してはどのような形になるか？

主な発見

• 加法的分解 $ HH^*(kG) \simeq \bigoplus_{x \in X} H^*(C_G(x), k) $ が、$ \mathcal{H}_x^* $ と $ \operatorname{Hom}_{kG}(Bar_*(kG) \otimes_{kG} k, kC_x) $ 間の同型を介してコチェーンレベルで明示的に実現された。
• カップ積は、$ HH^*(kG) \simeq \bigoplus_{x \in X} H^*(C_G(x), k) $ が $ H^*(G,k) $-加群として同型であることから、$ H^*(G,k) $-加群の構造として記述された。
• バタリン＝ヴィルコビッチ作用素 $ \Delta $ は各和成分 $ H^*(C_G(x), k) $ に制限され、$ H^*(G,k) \subset HH^*(kG) $ はBV部分代数である。
• 非可換代数に対する初めての完全なBV構造の計算が実行された：$ HH^*(\mathbb{F}_3 S_3) $ が、$ \Delta $ の作用およびリーブラケットの作用を含めて完全に計算された。
• 集合的自己ホモトピー法により、分解の実現を簡略化する比較写像の構成的手法が可能になった。
• コチェーンレベルの同型により、カップ積、リーブラケット、$ \Delta $ といった標準的構造がすべて群コホモロジーのデータで記述可能となり、$ HH^*(kG) $ の計算的フレームワークが提供された。