[論文レビュー] Bayesian Characterizations of Properties of Stochastic Processes with Applications

Sucharita Roy, Sourabh Bhattacharya|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Point processes and geometric inequalities参考文献 61被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、時系列、空間的、および時空間的データを含む確率過程における定常性と非定常性を同定するための新規ベイズ枠組みを提案する。この枠組みは、再帰的ベイズ後確率とディリクレ過程混合を用いた周波数検出を特徴とする。本手法は、小標本や複雑なモデルにおいても真の周波数および定常性特性を高い精度で検出でき、シミュレーションおよび実データ実験を通じて強固な実証的裏付けを得ている。

ABSTRACT

In this article, we primarily propose a novel Bayesian characterization of stationary and nonstationary stochastic processes. In practice, this theory aims to distinguish between global stationarity and nonstationarity for both parametric and nonparametric stochastic processes. Interestingly, our theory builds on our previous work on Bayesian characterization of infinite series, which was applied to verification of the (in)famous Riemann Hypothesis. Thus, there seems to be interesting and important connections between pure mathematics and Bayesian statistics, with respect to our proposed ideas. We validate our proposed method with simulation and real data experiments associated with different setups. In particular, applications of our method include stationarity and nonstationarity determination in various time series models, spatial and spatio-temporal setups, and convergence diagnostics of Markov Chain Monte Carlo. Our results demonstrate very encouraging performance, even in very subtle situations. Using similar principles, we also provide a novel Bayesian characterization of mutual independence among any number of random variables, using which we characterize the properties of point processes, including characterizations of Poisson point processes, complete spatial randomness, stationarity and nonstationarity. Applications to simulation experiments with ample Poisson and non-Poisson point process models again indicate quite encouraging performance of our proposed ideas. We further propose a novel recursive Bayesian method for determination of frequencies of oscillatory stochastic processes, based on our general principle. Simulation studies and real data experiments with varieties of time series models consisting of single and multiple frequencies bring out the worth of our method.

研究の動機と目的

• パラメトリックおよびノンパラメトリックな確率過程における定常性と非定常性のベイズ的特徴付けを開発すること。
• 相互独立性の検出および点過程（ポアソン過程や完全空間的ランダムネスを含む）の特徴付けを含めたベイズ推論への拡張。
• 複数の密接に配置された周波数成分を含む時系列に対しても、振動周波数を同定できる再帰的ベイズ手順を提案すること。
• 実データおよびシミュレートされたデータを用いた時系列、空間的・時空間的データ、およびMCMC収束診断に対して、本手法の妥当性を検証すること。
• 古典的検定が失敗する微細な状況、例えば小標本サイズや非正弦波信号においても、本手法の頑健な性能を示すこと。

提案手法

• 段階的尤度に基づく再帰的ベイズ後確率の構築を提案し、時間区間における定常性の評価を可能にする。
• 周波数の未知の分布をモデル化するためにディリクレ過程混合を用い、ノンパラメトリックな振動成分の検出を可能にする。
• 経験的累積分布関数間の上界に基づくアプローチ（上界ノルム）を用い、定常性からの逸脱を定量化する。
• 周波数検出を強化する変換を時系列に適用し、特に非正弦波信号において有効である。
• 最適スケーリングを実現するため、TMCMC（トランスポートマップMCMC）を用いてMCMC収束診断に本フレームワークを統合する。
• 共分散構造のモデル化と厳密な定常性または共分散定常性の検出により、空間的および時空間的データに本手法を適応させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベイズ枠組みは、パラメトリックおよびノンパラメトリックな設定において、確率過程の定常性と非定常性を信頼性高く区別できるか？
• RQ2 提案手法は、非正弦波時系列における複数の密接に配置された周波数をどの程度正確に検出できるか？
• RQ3 小標本または複雑なデータ状況において、本手法は古典的定常性検定をどの程度上回るか？
• RQ4 ベイズ的アプローチは、独立性と定常性を用いて、点過程（ポアソン過程や完全空間的ランダムネスを含む）を効果的に特徴付けられるか？
• RQ5 再帰的ベイズ手法は、高次元またはマルチモーダルな事後分布におけるMCMCアルゴリズムの収束をどの程度効果的に診断できるか？

主な発見

• 非正弦波信号に6つの高調波（周波数2, 4, 6, 8, 10, 12）を含む場合、本手法は真の周波数を正確に検出できたが、12の代わりにわずかに過大推定された14が一部検出された。
• Recruitment時系列では、ベイズ的手順により周波数が0.02よりわずかに高い値および約0.08に収束することが確認され、既知の振動パターンと整合的であった。
• AR(1)およびAR(2)モデルにおいて、小標本サイズおよびモデル形式が未知の状況でも、本手法は定常性を正しく分類した。古典的検定を上回る性能を示した。
• SOI時系列においても、再帰的ベイズアプローチは正確な周波数検出を達成し、事後平均が0.08よりわずかに高い値に収束した。
• 空間的および時空間的データにおいても本手法は頑健性を示し、定常および非定常成分の混合において、厳密な非定常性および共分散非定常性を正しく同定した。
• MCMC収束診断において、特に高次元およびマルチモーダルな事後分布において、TMCMCを用いて混合状態と収束性を効果的に評価した。