[論文レビュー] BCOV theory on the elliptic curve and higher genus mirror symmetry

Si Li|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2011

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 11被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、B-model 側で量子BCOV理論を構成し、その分配関数がほぼ正則モジュラー形式であることを示すことにより、楕円曲線における高 genus ミラー対称性を確立した。これらの分配関数は、双対な楕円曲線上の descendant Gromov-Witten 不変量と一致する。量子化されたBCOV理論、チャーラル局所汎関数、およびボソン化を用いて、著者らはすべての genus においてB-model の相関関数とA-model 不変量の等価性を証明した。

ABSTRACT

We develop the quantum Kodaira-Spencer theory on the elliptic curve and establish the corresponding higher genus B-model. We show that the partition functions of the higher genus B-model on the elliptic curve are almost holomorphic modular forms, which can be identified with partition functions of descendant Gromov-Witten invariants on the mirror elliptic curve. This gives the first compact Calabi-Yau example where mirror symmetry is established at all genera.

研究の動機と目的

• 楕円曲線上の高 genus におけるBCOV理論の拡張を図り、B-model のための厳密な量子場理論フレームワークを提供すること。
• 楕円曲線上の高 genus B-model の分配関数と双対曲線上のGromov-Witten不変量との間の対応関係を確立すること。
• B-model の分配関数がほぼ正則モジュラー形式であることを示し、量子幾何学と数論を結びつけること。
• 量子BCOV理論がストリング方程式およびディラトン方程式を満たすことを確認し、A-model と類似の性質を持つこと。
• コンpact Calabi-Yau 環境下で、すべての genus におけるミラー対称性を証明し、長年の未解決問題を解決すること。

提案手法

• 有効な正規化と正則化されたBV作用素を用いて、楕円曲線上のBCOV理論の標準的量子化を展開する。
• チャーラル局所汎関数を導入し、共形対称性を用いて一貫した量子観測量を定義する。
• フェルミオン的 Fock 空間作用素をボソン的頂点作用素に写像するため、ボソン化対応を適用する。
• 関数 $ S(t) = \frac{\sinh t/2}{t/2} $ を含む、ねじれた微分作用素の指数を用いて局所汎関数 $\mathcal{L}^{(k)}$ を構成する。
• 伝達関数 $\hbar P_{\epsilon}^L(\tau,\bar{\tau})$ を用いたフェルミオン図式展開により、$\bar{\tau} \to \infty$ の極限における相関関数を計算する。
• $\mathbb{C}^*$ 上のコhomological局在化および可換性の性質を実装し、量子理論の一貫性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 楕円曲線上の高 genus B-model は、BCOV理論を用いて一貫して量子化可能か？
• RQ2 楕円曲線上の量子BCOV理論の分配関数はモジュラー性を示し、双対曲線上のGromov-Witten不変量と一致するか？
• RQ3 ストリング方程式およびディラトン方程式は、量子BCOV理論でも満たされるか？A-model と類似する性質を示すか？
• RQ4 ボソン化手順を用いて、フェルミオン的およびボソン的表現の量子観測量を関連づけられるか？
• RQ5 B-model の相関関数の $\bar{\tau} \to \infty$ 極限が、A-model の descendant 不変量を回復するか？

主な発見

• 楕円曲線上の高 genus B-model の分配関数は、重さ 0 のほぼ正則モジュラー形式である。
• 量子BCOV理論はストリング方程式およびディラトン方程式を満たしており、トポロジカル場理論の公理と整合していることが確認された。
• 伝達関数 $\hbar P_{\epsilon}^L(\tau,\bar{\tau})$ を用いたフェルミオン図式展開による相関関数は、$\bar{\tau} \to \infty$ の極限でGromov-Witten不変量に収束する。
• 局所汎関数 $\int_{C_i} dw \mathcal{L}^{(k+1)}$ と $\int_{C_i} dw \mathcal{J}^{(k)}$ が等しいことから、証明における重要な恒等式が確立された。
• ボソン化写像により、Fock 空間上の頂点作用素の可換性が実現され、量子理論のユニタリティおよび一貫性が保証された。
• 本研究は、特に楕円曲線というコンパクトなCalabi-Yau多様体に対して、高 genus ミラー対称性の完全な証明を初めて得た。