[論文レビュー] Behaviour of the reference measure on $\sf RCD$ spaces under charts

Nicola Gigli, Enrico Pasqualetto|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2016

Point processes and geometric inequalities参考文献 13被引用数 25

ひとこと要約

この論文は、MondinoとNaberが構築した双リプシッツなチャートによる、有限次元のRCD空間上の基準測度のプッシュフォワードが、Lebesgue測度に関して絶対連続であることを証明する。De PhilippisとRindlerによる正規コアリュームと測度値発散に関する最近の結果を用いて、著者たちは座標チャートの基準測度のプルバックが局所的に絶対連続であることを確立し、測度付き距離幾何学における重要な構造的問題を解決し、抽象的接ベクトル束と点付き測度付きGromov-Hausdorff接空間の同値性を可能にする。

ABSTRACT

Mondino and Naber recently proved that finite dimensional $\sf RCD$ spaces are rectifiable. Here we show that the push-forward of the reference measure under the charts built by them is absolutely continuous with respect to the Lebesgue measure. This result, read in conjunction with another recent work of us, has relevant implications on the structure of tangent spaces to $\sf RCD$ spaces. A key tool that we use is a recent paper by De Philippis-Rindler about the structure of measures on the Euclidean space.

研究の動機と目的

• MondinoとNaberが構築した双リプシッツなチャートによるRCD空間上での基準測度の挙動を特定すること。
• これらのチャートによる基準測度のプッシュフォワードがLebesgue測度に関して絶対連続であることを示すことにより、文献におけるギャップを埋めること。
• 抽象的接ベクトル束（Sobolev関数を用いたもの）とRCD空間における点付き測度付きGromov-Hausdorff極限から得られる接空間との間の構造的リンクを確立すること。
• リッチ曲率が下から有界な特異空間へ接空間理論の適用範囲を、リッチ極限空間の範囲を超えて拡張すること。
• 測度論的・幾何的解析的手法を用いて、非滑らかメトリック測度空間における接構造を研究するための基盤的ツールを提供すること。

提案手法

• De PhilippisとRindlerによる正規コアリュームとLebesgue測度に関する絶対連続性に関する最近の結果を活用する。
• チャート写像の微分が、距離関数の勾配を、ユークリッド空間上での測度値発散を持つベクトル場に写すことを使う。
• 重み付きユークリッド空間における測度値発散とベクトル場の理論を適用し、プッシュフォワード測度が局所的に絶対連続であることを示す。
• 距離関数の非滑らかさに対処するため、カットオフ関数と近似手続きを用い、ベクトル場が発散作用素の定義域にあることを保証する。
• 双リプシッツ定数と次元の上限を用いた幾何的推定により、チャートの像上でのプッシュフォワードベクトル場の線形独立性を確立する。
• De Philippis-Rindlerの定理1.1を適用し、独立性および測度値発散条件を検証することで、プッシュフォワード測度の絶対連続性を結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 RCD空間上の基準測度がMondino-Naberのチャートによるプッシュフォワードが、Lebesgue測度に関して絶対連続のままであるか？
• RQ2 Cheeger-Coldingの手法における調和近似に依存せずに、チャート下での基準測度の絶対連続性を確立できるか？
• RQ3 正規コアリューム理論を通じて、測度とベクトル場のどのような構造的条件が絶対連続性を保証するか？
• RQ4 距離関数の測度値ラプラシアンが、プッシュフォワード測度の絶対連続性にどのように寄与するか？
• RQ5 Sobolev関数による抽象的接ベクトル束の構成が、RCD空間における幾何的接空間とどの程度同一視可能か？

主な発見

• Mondino-Naber分解における各チャートによる基準測度のプッシュフォワードは、対応するユークリッド空間上でLebesgue測度に関して絶対連続である。
• 調和近似に依存しないで、距離関数を座標とするチャートに対しても結果が成り立つ。これはCheeger-Coldingの手法とは異なり、距離関数が滑らかでない場合にも適用可能である。
• 正規コアリューム理論に基づくDe Philippis-Rindlerの定理を用いて、チャートの微分から導かれるベクトル場の測度値発散を用いて、絶対連続性を確立した。
• 主な幾何的入力は、双リプシッツ定数が次元に対して十分に小さい場合に、チャートが双リプシッツである集合上で距離関数の勾配が線形独立であるという事実である。
• カットオフ関数と近似を用いた極限的議論に依存しており、これにより、ターゲット空間のベクトル場が発散作用素の定義域にあり、ほとんど everywhere で独立な方向を持つことが保証された。
• この結果により、RCD空間上の基準測度が自然なチャート下で重み付き体積測度のように振る舞うことが確認され、抽象的接ベクトル束と点付き測度付きGromov-Hausdorff接空間との同一視が可能になった。