[論文レビュー] Bekollé-Bonami estimates on some pseudoconvex domains

Zhenghui Huo, Nathan A. Wagner+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2020

Holomorphic and Operator Theory参考文献 30被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{C}^n$ 内の有限型擬凸領域、特に厳密擬凸、凸、分解可能領域を含む領域において、Bergman 射影の鋭い重み付き $L^p$ ノルム推定を確立する。スパース支配と Bergman 核の推定を用いて、Bekollé-Bonami 型定数を用いた射影ノルムの上界を導出するが、これが鋭いことが示され、さらに厳密擬凸の場合には弱型 $(1,1)$ 有界性と下界の証明も行われる。

ABSTRACT

We establish a weighted $L^p$ norm estimate for the Bergman projection for a class of pseudoconvex domains. We obtain an upper bound for the weighted $L^p$ norm when the domain is, for example, a bounded smooth strictly pseudoconvex domain, a pseudoconvex domain of finite type in $\mathbb C^2$, a convex domain of finite type in $\mathbb C^n$, or a decoupled domain of finite type in $\mathbb C^n$. The upper bound is related to the Bekollé-Bonami constant and is sharp. When the domain is smooth, bounded, and strictly pseudoconvex, we also obtain a lower bound for the weighted norm.

研究の動機と目的

• 有限型擬凸領域における Bergman 射影の定量的重み付き $L^p$ 界を確立し、以前の定性的な Bekollé-Bonami 結果を拡張すること。
• Bekollé-Bonami 定数を用いた重み付き作用素ノルムの鋭い上界および、厳密擬凸の場合の下界を提供すること。
• 単位球を超える領域、特に凸、分解可能、および $\mathbb{C}^n$ 内の有限型領域に対し、スパース支配法を一般化すること。
• 主な手法の副産物として、これらの領域における Bergman 射影の弱型 $(1,1)$ 有界性を証明すること。
• 上界の鋭さと、下界をより広いクラスの有限型領域に拡張可能かどうかを検討すること。

提案手法

• 著者たちは、最近の $A_2$-予想に関する進展にインspiredされたスパース支配技術を用い、dyadic スパース作用素による Bergman 射影の制御を行う。
• 領域の境界幾何に適合した修正されたテント $B^\#(z,\delta)$ を定義することで、dyadic 調和解析のツールを適用可能にする。
• ノルム推定は、領域の dyadic 分解とスパース作用素の有界性に基づいて導出され、主に Bergman 核のサイズと分布に依存する重要な推定が含まれる。
• Folland-Stein や McNeal などの研究で知られている、有限型領域における Bergman 核の点ごとの推定を活用し、核の減衰と成長を制御する。
• 重要なステップとして、作用素を dyadic 立方体に分解し、最大関数の推定を用いて弱型 $(1,1)$ ノルムを有界化する。
• 厳密擬凸の場合の下界は、境界付近における Bergman 核の漸近展開を用いて確立され、作用素ノルムと領域の幾何学的性質を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Bekollé-Bonami 定数を用いた重み付き $L^p$ ノルムの上界が、有限型領域に対しても鋭いかどうか。
• RQ2 現在は厳密擬凸領域でのみ知られている Bergman 射影ノルムの下界が、凸または分解可能な有限型領域に拡張可能かどうか。
• RQ3 Bergman 射影の弱型 $(1,1)$ 有界性が、有限型擬凸領域のクラス全体にわたって一様に成り立つかどうか。
• RQ4 有限型設定において、Bergman 射影ノルムが Bekollé-Bonami 定数にどのように依存するか。
• RQ5 本稿で用いられたスパース支配法が、Berezin 変換や一般化された Bergman 型作用素などの他の積分作用素に適応可能かどうか。

主な発見

• Bergman 射影の重み付き $L^p$ 作用素ノルムは、$\|P\|_{L^p(\Omega,\sigma)} \lesssim \mathcal{[}\sigma]_p$ を満たす。ここで $\mathcal{[}\sigma]_p$ は重みとその双対を含む Bekollé-Bonami 型定数である。
• 上界は鋭い。第6.1節の反例により、$\mathcal{[}\sigma]_p$ への依存性を改善できないことが示された。
• 滑らかで有界な厳密擬凸領域では、Bergman 核の漸近展開を用いて下界が確立され、上界と定数倍の違いを除いて一致する。
• すべての考察対象となった有限型領域において、Bergman 射影は弱型 $(1,1)$ 有界である。これはスパース支配法から導出された結果である。
• 本手法は、$\mathbb{C}^2$ 内の有限型、$\mathbb{C}^n$ 内の滑らかな境界を持つ厳密擬凸、$\mathbb{C}^n$ 内の凸有限型、$\mathbb{C}^n$ 内の分解可能な有限型の4つの領域クラスに一様に適用可能である。
• 証明技法は、最終節で指摘されているように、$S_{a,b}$ や $S^{+}_{a,b}$ などの他の作用素への応用可能性を示唆している。