[論文レビュー] Berestycki-Lions conditions on ground state solutions for a Nonlinear Schrödinger equation with variable potentials

Xianhua Tang, Sitong Chen|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、変動するポテンシャルを伴う非線形シュレーディンガー方程式に対して、Berestycki-Lions 条件の下で基底状態解および最小エネルギー解の存在を確立する。非径対称性の欠如を克服するための新しい変分的手法を導入することで、解の存在を「ほぼ」必要十分な条件下で示し、従来の結果を一般化するとともに、非径対称および符号変化型の設定への適用範囲を拡大する。

ABSTRACT

This paper is dedicated to studying the nonlinear Schrödinger equations of the form \begin{equation*}\label{KE} \left\{ \begin{array}{ll} - riangle u+V(x)u=f(u), & x\in \R^N; u\in H^1(\R^N), \end{array} ight. \end{equation*} where $V\in \mathcal{C}^1(\R^N, [0, \infty))$ satisfies some weak assumptions, and $f\in \mathcal{C}(\R, \R)$ satisfies the general Berestycki-Lions assumptions. By introducing some new tricks, we prove that the above problem admits a ground state solution of Pohouzaev type and a least energy solution. These results generalize and improve some ones in [L. Jeanjean, K. Tanka,Indiana Univ. Math. J. 54 (2005), 443-464], [L. Jeanjean, K. Tanka, Proc. Amer. Math. Soc. 131 (2003) 2399-2408], [H. Berestycki, P.L. Lions, Arch. Rational Mech. Anal. 82 (1983) 313-345] and some other related literature. In particular, our assumptions are "almost" necessary when $V(x)\equiv V_{\infty}>0$, moreover, our approach could be useful for the study of other problems where radial symmetry of bounded sequence either fails or is not readily available, or where the ground state solutions of the problem at infinity are not sign definite.

研究の動機と目的

• 変動するポテンシャルを伴う非線形シュレーディンガー方程式に対して、Pohozëv 型の基底状態解の存在を確立すること。
• 径対称性を要件としない一般の Berestycki-Lions 条件の下で、最小エネルギー解の存在を証明すること。
• ポテンシャルが無限遠で正の定数に近づく場合、ポテンシャルおよび非線形項に関する仮定が「ほぼ」必要であることを示すこと。
• 有界列の径対称性が成立しない、または無限遠における基底状態が符号を明確に持たないような問題に対しても適用可能な手法を開発すること。

提案手法

• 元の問題を近似するためのパラメータ依存エネルギー汎関数 $ I_\lambda(u) $ を導入し、コンパクト性を回復する。
• Pohozëv 型の恒等式 $ \mathcal{P}_\lambda(u) = 0 $ を制約として用い、基底状態解を特徴付ける。
• コンcentrate-compactness 原理と、単調性トリックの新規バージョンを用いて、コンパクト性の欠如に対処する。
• $ \lambda \to 1 $ の極限をとることで、近似問題から元の問題へと移行する。
• 極限状態 $ V(x) \equiv V_\infty $ において、Pólya-Szegö 不等式と対称化技術を用いて径対称性を正当化する。
• 勾配 $ \nabla V(x) \cdot x $ を含む新しい推定式を用いて、Palais-Smale 列の有界性を確立し、非自明解への収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変動するポテンシャルを伴う非線形シュレーディンガー方程式が、Pohozëv 型の基底状態解をもつための条件は何か？
• RQ2 径対称性が利用できない非自己同型系において、Berestycki-Lions 条件を緩和または一般化できるか？
• RQ3 自励系における存在性を保証するのと同じ仮定のもとで、最小エネルギー解の存在は保証されるか？
• RQ4 標準的な対称化が失敗する非径対称・非自己同型設定において、どのようにコンパクト性を回復できるか？
• RQ5 非自明解の存在に関して、$ f $ および $ V $ に関する仮定は「ほぼ」必要であるか？

主な発見

• 径対称性がなくても、Berestycki-Lions 条件の下で、Pohozëv 型の基底状態解が存在する。
• 最小エネルギー解が存在し、$ I(\bar{u}) = \inf_{\mathcal{K}} I(u) $ を満たす。ここで $ \mathcal{K} $ は非自明な臨界点の集合である。
• ポテンシャルが $ V(x) \equiv V_\infty > 0 $ の場合、$ f $ に関する仮定が「ほぼ」必要であることが示され、条件の鋭さが確認された。
• 最小エネルギー解のエネルギーは $ I(\bar{u}) < m_1^\infty $ を満たし、自励系の基底状態エネルギーを厳密に下回っている。
• 本手法は、無限遠における基底状態が符号を明確に持たない場合や、径対称性が成立しない場合にも効果的に適用可能である。
• 著者らは $ \lambda \in (\bar{\lambda}, 1] $ に対して $ c_\lambda < m_\lambda^\infty $ を証明し、これは concentration-compactness 分析における非自明な消滅を排除する上で極めて重要である。