[論文レビュー] Berezin quantization of noncommutative projective varieties

Andreas Andersson|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2015

Geometry and complex manifolds参考文献 87被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、有限次元ヒルベルト空間の部分積系を用いて、非可換射影的多様体のベレジン量論化を初めて体系的に構築するフレームワークを提示する。これにより、ケーラー構造および代数幾何学的構造を持つ非可換多様体の構成が可能になる。滑らかでない射影的多様体に対しても厳密な量論化が確立され、コロナの予想が、同次的理想に付随する部分空間に圧縮されたシフト作用素に対して、一般に証明される。また、コンパクトな行列量子群を用いた量子同次空間への応用も示される。

ABSTRACT

We use operator algebras and operator theory to obtain new result concerning Berezin quantization of compact Kähler manifolds. Our main tool is the notion of subproduct systems of finite-dimensional Hilbert spaces, which enables all involved objects, such as the Toeplitz operators, to be very conveniently expressed in terms of shift operators compressed to a subspace of full Fock space. This subspace is not required to be contained in the symmetric Fock space, so from finite-dimensional matrix algebras we can construct noncommutative manifolds with extra structure generalizing that of a projective variety endowed with a positive Hermitian line bundle and a canonical Kähler metric in the class of the line bundle. Even in the commutative setting these constructions are very fruitful. Firstly, we show that the algebra of smooth functions on any smooth projective variety can be quantized in a strong sense of inductive limits, as was previously only accomplished for homogeneous manifolds. In this way the Kähler manifold is recovered exactly from quantization and not just approximately. Secondly, we obtain a strict quantization also for singular varieties. Thirdly, we show that the Arveson conjecture is true in full generality for shift operators compressed to the subspace of symmetric Fock space associated with any homogeneous ideal. For noncommutative examples we consider homogeneous spaces for compact matrix quantum groups which generalize $q$-deformed projective spaces, and we show that these can be obtained as the cores of Cuntz--Pimsner algebras constructed solely from the representation theory of the quantum group. We also discuss interesting connections with noncommutative random walks.

研究の動機と目的

• 演算子代数および作用素論を用いて、非可換射影的多様体のベレジン量論化の一般枠組みを構築すること。
• 従来の手法が滑らかまたは同次的状況に限られていたのに対し、特異的射影的多様体に対しても厳密な量論化を拡張すること。
• 同次的理想に付随する部分空間に圧縮されたシフト作用素に対して、アーヴェソン予想を一般に証明すること。
• コンパクトな行列量子群の表現論に基づく行列代数の帰納的極限として、非可換多様体を構成すること。
• 作用素論的手段を用いて、非可換な文脈において、複素構造、ヘルミート構造、ケーラー構造を統合すること。

提案手法

• 有限次元ヒルベルト空間の部分積系を用いて、圧縮されたフォック空間におけるトーピツ作用素およびシフト作用素の構造を符号化する。
• 行列代数 $\mathcal{B}(\mathfrak{H}_m)$ の帰納的極限を用いて、非可換射影的多様体 $\mathbb{M}$ 上の連続関数の非可換 $C^*$-代数 $C(\mathbb{M})$ を定義する。
• 完全なフォック空間の部分空間への射影 $P^{(m)}$ を用いてトーピッツ作用素を構成し、 coherent state 射影の一般化を実現する。
• クンツ＝ピムスナー代数を用いて、コンパクトな行列量子群の表現論に基づく代数のコアとして、量子同次空間 $\mathbb{G}/\mathbb{K}$ を実現する。
• 共変記号および全トーピッツ写像を用いて、$\mathbb{M}$ 上の古典関数と $\mathfrak{H}_m$ 上の作用素との関係を確立し、量論化を可能にする。
• 射影的極限および修正された内積を用いて、$\mathcal{O}_{\mathfrak{H}}$ 上に状態を定義し、極限において古典的多様体を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベレジン量論化は、近似的ではなく、厳密かつ正確に特異的射影的多様体へ拡張可能か？
• RQ2 同次的理想に付随する部分空間に圧縮されたシフト作用素に対して、アーヴェソン予想は一般に成り立つか？
• RQ3 ケーラー構造および代数的構造を保ちながら、行列代数の帰納的極限として非可換射影的多様体を構成可能か？
• RQ4 コンパクトな行列量子群の量子同次空間は、表現論に基づくクンツ＝ピムスナー代数のコアとしてどのようにして生じるか？
• RQ5 離散的量子群のマーティン境界と、帰納的極限によって構成された非可換多様体 $\mathbb{M}$ の間にはどのような関係があるか？

主な発見

• 任意の滑らかな射影的多様体上の滑らかな関数の代数は、帰納的極限として厳密に量論化可能であり、極限において古典的ケーラー多様体を正確に回復する。
• 特異的射影的多様体に対しても、従来の滑らかまたは同次的状況に限られていた結果を越えて、厳密な量論化が達成された。
• 任意の同次的理想に付随する対称フォック空間の部分空間に圧縮されたシフト作用素に対して、アーヴェソン予想が一般に証明された。
• コンパクトな行列量子群に対して、量子同次空間 $C(\mathbb{G}/\mathbb{K})$ は、$\mathbb{G}$-表現の部分積系から導かれる行列代数の帰納的極限として実現された。
• 非可換円包の全空間の $C^*$-代数 $C(\mathbb{S}_{\mathbb{G}})$ は、帰納的極限 $\mathcal{O}^{(0)}_{\mathfrak{H}}$ と同型であり、古典的円包構成を一般化する。
• $\mathbb{G} = \mathrm{SU}_q(2)$ の場合、帰納的極限 $\mathcal{B}_\infty$ は、ポドレースの球面 $\mathbb{S}^2_q$ の $C^*$-代数と一致し、双対量子群の既知のマーティン境界とも一致する。