[論文レビュー] Berry-Esseen bounds and moderate deviations for the norm, entries and spectral radius of products of positive random matrices

Hui Xiao, Ion Grama+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2020

Random Matrices and Applications参考文献 24被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、独立同分布の正の確率的行列の積の作用素ノルム、行列成分、スペクトル半径について、Berry-Esseenの評価とCramér型の中程度偏差展開を確立する。ノルムコサイクルから行列ノルムおよびスペクトル的量へと結果を拡張することで、モーメントおよび正則性条件の下で非漸近的収束速度と精密な尾部近似を提供し、確率的行列積の理論における重要な空白を埋める。

ABSTRACT

Let $(g_{n})_{n\geq 1}$ be a sequence of independent and identically distributed positive random $d imes d$ matrices and consider the matrix product $G_n: = g_n \ldots g_1$. Under suitable conditions, we establish the Berry-Esseen bounds on the rate of convergence in the central limit theorem and moderate deviation expansions of Cramér type, for the matrix norm $\| G_n \|$ of $G_n$, for its $(i,j)$-th entry $G_n^{i,j}$, and the and for its spectral radius $ρ(G_n)$.

研究の動機と目的

• 正のi.i.d.確率的行列の積の作用素ノルム、成分、スペクトル半径に対する非漸近的正規近似評価を導出することで、文献における空白を埋める。
• 既存のノルムコサイクルおよびマルコフ連鎖の理論を、行列ノルムおよびスペクトル的量へと拡張し、収束速度と尾部挙動が定量的に評価されることを保証する。
• 適切なモーメントおよび正則性条件の下で、$ \|G_n\| $、$ G_n^{i,j} $、および $ \rho(G_n) $ について、$ O(1/\sqrt{n}) $ のレートを有するBerry-Esseenの評価とCramér型の中程度偏差展開を確立する。
• 比較補題およびCollatz-Wielandtの公式を用いて、同じモーメント条件の下で、行列ノルム、成分、スペクトル半径の漸近的分散とリャプノフ指数が一貫していることを証明する。

提案手法

• 作用素ノルム $ \|G_n\| $ に対するBerry-Esseenの評価を、最近のノルムコサイクル $ \log|G_n x| $ の結果を活用し、すべての成分が正であるベクトル $ x $ を用いて $ \|G_n\| $ と $ |G_n x| $ を比較することで導出する。
• 中程度偏差展開を確立するため、比 $ \mathbb{P}(\log\|G_n\| - n\lambda \geq y\sigma\sqrt{n}) / (1 - \Phi(y)) $ を分析し、$ \exp(y^3 / \sqrt{n} \cdot \zeta(y/\sqrt{n})) $ に収束することを示し、誤差項が $ O((y+1)/\sqrt{n}) $ であることを示す。
• ミンコフスキーの不等式を用いて、$ \log\|G_n\| $、$ \log|G_n x| $、$ \log G_n^{i,j} $ の2次モーメントを比較し、分散の差が $ O(1/n) $ のレートで消えることを証明する。
• コラーツ＝ヴァイランドの公式を用いて $ \rho(G_n) $ を行列成分およびノルムと関連付け、$ \|G_n\| $、$ \rho(G_n) $、および $ \langle e_i, G_n e_j \rangle $ の間の比較を可能にする。
• 同じ行列の列に属する成分が互いに比較可能であることを保証する正則性条件を用い、$ \log G_n^{i,j} $ を $ \log|G_n e_j| $ に対して制御可能であるようにする。
• 集中不等式および指数モーメントの上限を用いて尾部確率を制御し、特に $ b_n $ スケーリングおよび $ k $-トリンケーションを用いて中程度偏差の上界および下界を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の確率的行列の積の作用素ノルム $ \|G_n\| $、成分 $ G_n^{i,j} $、スペクトル半径 $ \rho(G_n) $ に対して、$ O(1/\sqrt{n}) $ のレートを有するBerry-Esseenの評価を確立できるか？
• RQ2 Cramér型の中程度偏差展開は $ \|G_n\| $、$ G_n^{i,j} $、$ \rho(G_n) $ に対して成立するか？ そして、指数補正項の正確な形は何か？
• RQ3 同じモーメント条件の下で、$ \log\|G_n\| $、$ \log G_n^{i,j} $、$ \log\rho(G_n) $ の漸近的分散は、それぞれどのように互いに関係し、リャプノフ指数 $ \lambda $ と関係するか？
• RQ4 正のベクトル $ x $ を用いた $ |G_n x| $ による $ \|G_n\| $ の制御はどの程度可能か？ また、これは成分およびスペクトル半径へとどのように拡張できるか？

主な発見

• 本稿では、形式 $ \sup_{y\in\mathbb{R}} \left| \mathbb{P}\left( \frac{\log\|G_n\| - n\lambda}{\sigma\sqrt{n}} \leq y \right) - \Phi(y) \right| \leq \frac{C}{\sqrt{n}} $ のBerry-Esseenの評価を確立し、行列ノルムに対して $ O(1/\sqrt{n}) $ の収束速度を証明する。
• Cramér型の中程度偏差展開が導出され、$ \frac{\mathbb{P}\left( \frac{\log\|G_n\| - n\lambda}{\sigma\sqrt{n}} \geq y \right)}{1 - \Phi(y)} = \exp\left( \frac{y^3}{\sqrt{n}} \zeta\left( \frac{y}{\sqrt{n}} \right) \right) \left[1 + O\left( \frac{y+1}{\sqrt{n}} \right) \right] $ が、$ y \in [0, o(\sqrt{n})) $ に対して一様に成り立つ。
• $ \log\|G_n\| $、$ \log G_n^{i,j} $、$ \log\rho(G_n) $ の漸近的分散はすべて同じ $ \sigma^2 $ に収束し、$ \frac{1}{n} \mathbb{E}[(\log\|G_n\| - n\lambda)^2 - (\log|G_n x| - n\lambda)^2] \to 0 $ が $ n \to \infty $ のとき成り立つ。
• 成分 $ G_n^{i,j} $ に関して、$ \log G_n^{i,j} $ の分散が $ \log|G_n e_j| $ の分散と漸近的に同値であることが示され、ミンコフスキーの不等式および行列成分に関する正則性条件を用いて誤差が制御される。
• スペクトル半径 $ \rho(G_n) $ に関して、$ \frac{1}{n} \mathbb{E}[(\log\rho(G_n) - n\lambda)^2 - (\log\|G_n\| - n\lambda)^2] \to 0 $ が、コラーツ＝ヴァイランドの公式およびノルム比較を用いて成り立つ。
• より強いモーメントおよび正則性条件の下で、成分およびスペクトル半径に対しても結果が拡張され、行列ノルムと同一の収束速度および展開形が得られる。