[論文レビュー] Bessel models for lowest weight representations of GSp(4,R)

Ameya Pitale, Ralf Schmidt|ArXiv.org|Sep 2, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用数 24

ひとこと要約

本稿では、GSp(4,R) の最低・最高順位表現における分離および非分離ベッセルモデルの一意性および存在条件を確立し、線形一階偏微分方程式系の明示的解法を用いて閉形式のベッセル関数を導出する。主な貢献は、ベクトル値スiegelモジュラー形式に対して有効である、GSp(4)×GL(2) の8次L関数の積分表現を、これらの明示的アーキメデス的ベッセル関数によって可能にしたことである。

ABSTRACT

We prove uniqueness and give precise criteria for existence of split and non-split Bessel models for a class of lowest and highest weight representations of the groups GSp(4,R) and Sp(4,R) including all holomorphic and anti-holomorphic discrete series representations. Explicit formulas for the resulting Bessel functions are obtained by solving systems of differential equations. The formulas are applied to derive an integral representation for a global $L$-function on GSp(4)xGL(2) involving a vector-valued Siegel modular form of degree 2.

研究の動機と目的

• GSp(4,R) の最低順位および最高順位表現におけるベッセルモデルの正確な存在および一意性条件を特定すること。
• 複素化されたリー代数の作用に起因する線形一階偏微分方程式系の解法により、ベッセル関数の明示的公式を導出すること。
• 得られたアーキメデス的ベッセル関数を用いて、GSp(4) × GL(2) のグローバルL関数 L(s, π_F × τ_f) の積分表現を構成すること。
• 明示的アーキメデス的成分を提供することにより、Furusawaの手法をベクトル値スiegelモジュラー形式へと拡張すること。

提案手法

• ベッセルモデルにおける最低順位ベクトルへの複素化リー代数作用に起因する線形一階偏微分方程式系を解く。
• 非分離ケースでは27番目の二重コセット分解、分離ケースでは97番目の二重コセット分解を用いて群作用をパrameter化する。
• 微分方程式を適用し、Whittaker関数および ζ と λ を含む代数的表現を用いたベッセル関数の明示的公式を計算する。
• モデル変換技術および K-型分解を用いて、ベッセル関数を標準的自動形式と関連付ける。
• 既知の結果 [2]、[5]、[6] を用いて、アーキメデス的および非アーキメデス的成分を組み合わせることでグローバル積分表現を構成する。
• アーキメデス的積分 Z_∞(s) と非アーキメデス的場所からのEuler積因子を組み合わせることで、グローバルL関数の公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GSp(4,R) の最低順位表現が非分離ベッセルモデルをもつのはどのような条件下か？
• RQ2 このような表現に対して分離ベッセルモデルが存在するのはいつか、また中心文字と K-型次元の役割は何か？
• RQ3 複素化リー代数が最低順位ベクトルに作用する際、ベッセル関数の明示的公式はどのように導出可能か？
• RQ4 スiegelモジュラー形式がベクトル値である場合、GSp(4) × GL(2) のアーキメデス的L関数積分の構造はいかなるものか？
• RQ5 明示的ベッセル関数は、8次L関数のグローバル積分表現の構成をどのように可能にするか？

主な発見

• 非分離ベッセルモデルが最低順位表現に存在するのは、T(R) ≅ C× の字の Λ が単位円に制限されたときに、最小K-型の次元未満の整数 m に対応する場合に限る。
• 分離ベッセルモデルは、関連するPDE系に中程度成長解が存在しないことから、検討された最低順位表現のすべてにおいて存在しない。
• ベッセル関数の明示的公式は、Whittaker関数 W_{l/2, ir/2}(4πλD^{1/2}x) を含む項の線形結合として導出され、x = (ζ² + ζ⁻²)/2 である。
• アーキメデス的L関数積分 Z_∞(s) は、係数 c_{k,j} および有理関数 Q_{k,j}(s) の和として表現され、Γ関数および π, D, 2 のべき乗と積をなす。
• グローバルL関数は Z(s,Λ) = κ_N Z_∞(s) L(3s+1/2, π_F × τ_f) / [ζ(6s+1) L(3s+1, τ_f × AI(Λ))], と満たし、レベルNおよび二次体Lに依存する明示的局所因子 κ_N を有する。
• この結果により、Furusawaの手法が次数2のベクトル値スiegelモジュラー形式へと拡張され、ベッセル関数の公式により n = 3,5,7,9 に対して構成が可能となった。