[論文レビュー] Bessel potentials and optimal Hardy and Hardy-Rellich inequalities

Nassif Ghoussouband, Amir Moradifam|ArXiv.org|Sep 12, 2007

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 28被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、Bessel対—ある種の2階常微分方程式が正の解を持つような径数重みの組 (V, W) — を用いて、最適なハーディーおよびハーディー＝レリッヒ不等式の完全な特徴付けを確立する。不等式 ∫V|∇u|²dx ≥ c∫Wu²dx および ∫V|Δu|²dx ≥ ∫W|∇u|²dx が成り立つための必要十分条件を提示し、キャッファレッリ＝コーン＝ニレングェルグ、ブレジス＝ヴァスコ、フィリッパス＝テルティカスの古典的結果を統合・拡張する。最良定数は常微分方程式の振動理論から明示的に導出される。

ABSTRACT

We give necessary and sufficient conditions on a pair of positive radial functions V and W on a ball B of radius R in R^n,$n \geq 1$, so that the following inequalities hold for all $u \in C_{0}^{\infty}(B)$: $\int_{B}V(x)| abla u |^{2}dx \geq \int_{B} W(x)u^2dx$, and $\int_{B}V(x)|Δu |^{2}dx \geq \int_{B} W(x)| abla u|^{2}dx+(n-1)\int_{B}(\frac{V(x)}{|x|^2}-\frac{V_r(|x|)}{|x|})| abla u|^2dx$. This characterization makes a very useful connection between Hardy-type inequalities and the oscillatory behaviour of certain ordinary differential equations, and helps in the identification of a large number of such couples (V, W) - that we call Bessel pairs -as well as the best constants in the corresponding inequalities. This allows us to improve, extend, and unify many results -old and new- about Hardy and Hardy-Rellich type inequalities, such as those obtained by Caffarelli-Kohn-Nirenberg, Brezis-Vazquez, Wang-Willem, Adimurthi-Chaudhuri-Ramaswamy, Filippas-Tertikas, Adimurthi-Grossi -Santra, Tertikas-Zographopoulos, and Blanchet-Bonforte-Dolbeault-Grillo-Vasquez.

研究の動機と目的

• 球体 Rⁿ 上のコンパクトな台を持つ滑らかな関数に対して、ハーディー型不等式が成り立つような径数重み V および W に対する必要十分条件を提供すること。
• キャッファレッリ＝コーン＝ニレングェルグ、ブレジス＝ヴァスコ、および他の研究者によるハーディーおよびハーディー＝レリッヒ不等式の既存結果を統合・拡張すること。
• 関連する常微分方程式のBessel対および振動理論を用いて、このような不等式における最良定数を同定すること。
• 古典的ハーディー不等式およびその改良を、臨界次元（例：n=2, n=4）および変動型またはべき乗型重みへ一般化すること。

提案手法

• 区間 (0, R) 上のBessel対 (V, W) を、ある2階常微分方程式 y'' + (n−1)/r + V′(r)/V(r) y′ + cW(r)/V(r) y = 0 が (0, R) 上に正の解を持つような組として定義する。ここで c は最良定数である。
• 不等式が成り立つための最良定数 c の上界を表す重み β(V, W; R) を導入し、不等式とODEの振動理論を結びつける。
• limsup_{r→0} r²ⁿ⁻² V(r)W(r) (∫_r^R dτ/(τⁿ⁻¹V(τ)))² < 1/4 などの積分的条件を用いて、(V, W) がBessel対であるかどうかを特定する。
• 理論を応用して、|x|⁻²ᵐ や (a + b|x|ᵃ)ᵇ、および V(x) = |x|⁻²ᵃ との組み合わせのような重みを含む不等式における最良定数を導出する。
• 球面調和関数の分解と角運動量指数 k における最小化を用いて、4階ハーディー＝レリッヒ不等式における最良定数を特徴付ける。
• 関数 f(x) = ((n−4−2m)(n+2m)/4 + x)² / ((n−4−2m)/2)² + x の臨界点解析を用いて、異なる m の範囲における最良定数 aₙ,ₘ を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 径数重み V および W がどのような条件下で、すべての u ∈ C₀∞(B) に対して不等式 ∫_B V|∇u|²dx ≥ c∫_B W u²dx が成り立つか？
• RQ2 このような不等式における最良定数 c は何か？ そして、常微分方程式を用いてどのように特徴付けられるか？
• RQ3 変動型またはべき乗型重みおよび臨界次元を含むように、古典的ハーディーおよびハーディー＝レリッヒ不等式をどのように一般化できるか？
• RQ4 次元 n=2, 4 およびそれ以上の次元において、径数的および非径数的関数に対する4階ハーディー＝レリッヒ不等式における最良定数は何か？
• RQ5 特定の2階常微分方程式の振動挙動が、ハーディー型不等式の妥当性および鋭さをどのように決定するか？

主な発見

• 不等式 ∫_B V|∇u|²dx ≥ c∫_B W u²dx がすべての u ∈ C₀∞(B) に対して成り立つのは、方程式 (B_{V,cW}) が (0, R) 上に正の解を持つときであり、最良定数は c = β(V, W; R) に等しい。
• V(x) ≡ 1 および W(x) = |x|⁻² の場合、最良定数は ((n−2)/2)² であり、古典的ハーディー不等式が回復される。
• V(x) = |x|⁻²ᵃ および W(x) = |x|⁻²ᵃ⁻² の場合、最良定数は ((n−2a−2)/2)² であり、キャッファレッリ＝コーン＝ニレングェルグ不等式が一般化される。
• αβ > 0 および m ≤ (n−2)/2 の形の重み (a + b|x|ᵃ)ᵇ に対して、最良定数は ((n−2m−2)/2)² であり、すべての次元 n ≥ 2 で有効である。
• αβ < 0 かつ 2m−αβ ≤ n−2 の場合、最良定数は ((n−2m+αβ−2)/2)² であり、単調でない重みへも結果が拡張される。
• 4階不等式において、最良定数 aₙ,ₘ は k における最小値をとる区分的公式で与えられ、m および n に応じた明示的表現を持つ。臨界次元でも有効である。