[論文レビュー] Beyond Bidimensionality: Parameterized Subexponential Algorithms on Directed Graphs

Frederic Dorn, Fedor V. Fomin+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2010

Advanced Graph Theory Research参考文献 25被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、核化、幅幅に基づく動的計画法、およびBaker型のレイヤリングを組み合わせる新しい技術を用いて、有向グラフ上の基本的問題に対する最初のパrameterizedな部分指数時間アルゴリズムを提示する。この手法により、下位の無向グラフが固定されたアペックスグラフを最小部分グラフとして含まない有向グラフにおいて、$k$-Leaf Out-Branchingおよび$k$-Internal Out-Branching問題に対して$2^{ϵ(√{k}\log k)}n^{ϵ(1)}$時間で解ける。これは、無向グラフや双次元性理論の範囲を超えて、部分指数時間パラメータ化アルゴリズムを有向グラフへと拡張した初の試みである。

ABSTRACT

We develop two different methods to achieve subexponential time parameterized algorithms for problems on sparse directed graphs. We exemplify our approaches with two well studied problems. For the first problem, {\sc $k$-Leaf Out-Branching}, which is to find an oriented spanning tree with at least $k$ leaves, we obtain an algorithm solving the problem in time $2^{O(\sqrt{k} \log k)} n+ n^{O(1)}$ on directed graphs whose underlying undirected graph excludes some fixed graph $H$ as a minor. For the special case when the input directed graph is planar, the running time can be improved to $2^{O(\sqrt{k})}n + n^{O(1)}$. The second example is a generalization of the {\sc Directed Hamiltonian Path} problem, namely {\sc $k$-Internal Out-Branching}, which is to find an oriented spanning tree with at least $k$ internal vertices. We obtain an algorithm solving the problem in time $2^{O(\sqrt{k} \log k)} + n^{O(1)}$ on directed graphs whose underlying undirected graph excludes some fixed apex graph $H$ as a minor. Finally, we observe that for any $ε>0$, the {\sc $k$-Directed Path} problem is solvable in time $O((1+ε)^k n^{f(ε)})$, where $f$ is some function of $\ve$. Our methods are based on non-trivial combinations of obstruction theorems for undirected graphs, kernelization, problem specific combinatorial structures and a layering technique similar to the one employed by Baker to obtain PTAS for planar graphs.

研究の動機と目的

• 双次元性理論の制限を超えて、無向グラフから有向グラフへ部分指数時間パラメータ化アルゴリズムを拡張すること。
• グラフ最小部分理論が未発達な有向グラフに対して適用可能な新しいアルゴリズム的技術を開発すること。
• スパarsな有向グラフ上での$k$-Leaf Out-Branchingおよび$k$-Internal Out-Branching問題を部分指数時間で解くこと。
• 下位の$H$-minor-freeまたはアペックス最小部分グラフを含まない構造を持つ有向グラフにおいて、部分指数時間アルゴリズムが可能であることを示すこと。

提案手法

• 入力を幅幅が有界な部分線形サイズのインスタンスに縮小するため、核化を適用する。
• 平面グラフのBakerのPTASにインspiredされたレイヤリング技術を用いて、幅幅が有界な部分グラフにグラフを分解する。
• $H$-minor-freeグラフのグリッド最小部分定理を活用し、パラメータ$k$の関数として幅幅を有界化する。
• 幅$ϵ(√{k})$の木分解に基づく動的計画法を用いて、候補となる部分グラフの集合を構築する。
• 核化と幅幅が有界な部分グラフ上の動的計画法を組み合わせることで、部分指数時間の実行時間を得る。
• $H$-minor-freeグラフにおける幅幅の定数倍近似を用いて、木分解を効率的に計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双次元性理論の範囲外にある有向グラフ問題に対して、部分指数時間パラメータ化アルゴリズムを開発することは可能か？
• RQ2 下位グラフが$H$-minor-freeである有向グラフにおいて、$k$-Leaf Out-Branching問題を部分指数時間で解くことは可能か？
• RQ3 下位グラフが固定されたアペックスグラフを最小部分グラフとして含まない有向グラフにおいて、$k$-Internal Out-Branching問題を部分指数時間で解くことは可能か？
• RQ4 成熟した有向グラフ最小部分理論が存在しない状況で、部分指数時間アルゴリズムを有向グラフへと拡張するためにどのような技術が利用可能か？

主な発見

• $k$-Leaf Out-Branching問題は、下位グラフが$H$-minor-freeである有向グラフ上で、$2^{\mathcal{O}(\sqrt{k}\log k)}n^{\mathcal{O}(1)}$時間のアルゴリズムを有する。
• 平面有向グラフでは、より強い構造的制約のおかげで、実行時間は$2^{\mathcal{O}(\sqrt{k})}n^{\mathcal{O}(1)}$に改善される。
• $k$-Internal Out-Branching問題は、下位グラフが固定されたアペックスグラフ$H$を最小部分グラフとして含まない有向グラフ上で、$2^{\mathcal{O}(\sqrt{k}\log k)}+n^{\mathcal{O}(1)}$時間で解ける。
• 任意の$\varepsilon > 0$に対して、$k$-Directed Path問題は、$H$-minor-freeな下位グラフ上では$\mathcal{O}((1+\varepsilon)^k n^{f(\varepsilon)})$時間で解ける。
• 提案手法は、核化、幅幅に基づく動的計画法、およびBaker型のレイヤリングを組み合わせることで、有向グラフ上で部分指数時間実行を達成した。