[論文レビュー] Beyond Lorentzian Symmetry

Ross Grassie|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2021

Advanced Differential Geometry Research被引用数 4

ひとこと要約

本学位論文は、3次元空間的次元における運動論的、超運動論的、超バーグマン対称性を分類する包括的な枠組みを構築する。代数的および幾何的手法を用いて不変接続、ソルディング形式、ヴィルビンを導出する。$\mathcal{N}=1$ リー超代数の同型類は43、$(4|4)$次元の同次的超空間は27、$\mathcal{N}=1$ スーパーバーグマンの場合には同型類が9、$\mathcal{N}=2$ の場合には22の分岐が特定され、それらは収縮手続きを通じて時空を結ぶ幾何的極限の網を明らかにする。

ABSTRACT

This thesis presents a framework in which to explore kinematical symmetries beyond the standard Lorentzian case. This framework consists of an algebraic classification, a geometric classification, and a derivation of the geometric properties required to define physical theories on the classified spacetime geometries. The work completed in substantiating this framework for kinematical, super-kinematical, and super-Bargmann symmetries constitutes the body of this thesis. To this end, the classification of kinematical Lie algebras in spatial dimension $D = 3$, as presented in [3, 4], is reviewed; as is the classification of spatially-isotropic homogeneous spacetimes of [5]. The derivation of geometric properties such as the non-compactness of boosts, soldering forms and vielbeins, and the space of invariant affine connections is then presented. We move on to classify the $\mathcal{N}=1$ kinematical Lie superalgebras in three spatial dimensions, finding 43 isomorphism classes of Lie superalgebras. Once these algebras are determined, we classify the corresponding simply-connected homogeneous (4|4)-dimensional superspaces and show how the resulting 27 homogeneous superspaces may be related to one another via geometric limits. Finally, we turn our attention to generalised Bargmann superalgebras. In the present work, these will be the $\mathcal{N}=1$ and $\mathcal{N}=2$ super-extensions of the Bargmann and Newton-Hooke algebras, as well as the centrally-extended static kinematical Lie algebra, of which the former three all arise as deformations. Focussing solely on three spatial dimensions, we find $9$ isomorphism classes in the $\mathcal{N}=1$ case, and we identify $22$ branches of superalgebras in the $\mathcal{N}=2$ case.

研究の動機と目的

• 標準的なローレンツ的ケースを超える運動論的対称性を統一的な代数的および幾何的枠組みで分類すること。
• 3次元空間的次元における $\mathcal{N}=1$ および $\mathcal{N}=2$ 動的リー超代数を体系的に分類すること。
• 得られた時空幾何に於いて不変アフィン接続、ソルディング形式、ヴィルビンなどの幾何的構造を導出すること。
• 収縮手続きを通じてさまざまな時空を結ぶ幾何的極限を探索すること。
• 中心的拡張や変形を含む静的および変形された超バーグマン代数への分類の拡張。

提案手法

• Figueroa-O’Farrill らの先行研究に基づき、$D=3$ における運動論的リー代数の代数的分類を実施する。
• 同次的時空に於いて不変接続、ソルディング形式、ヴィルビンを導出するための幾何的手法を適用する。
• リー群上の指数関数的座標を用いて、時空幾何の局所的モデルを構築する。
• 特定されたリー超代数から、単連結な同次的 $(4|4)$ 次元超空間を分類する。
• 収縮手続きを用いて、平坦、非相対論的、超相対論的極限を含む、時空間の幾何的極限を導出する。
• 静的および運動論的代数の変形および中心的拡張を用いて、一般化されたバーグマン超代数の構造を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元空間的次元におけるローレンツ的対称性を超える運動論的対称性をどのように体系的に分類できるか？
• RQ2 $\mathcal{N}=1$ および $\mathcal{N}=2$ リー超代数の完全な同型類は何か。それらは物理的時空幾何とどのように関係しているか？
• RQ3 平坦、非相対論的、超相対論的収縮を含む幾何的極限は、どのようにさまざまな運動論的時空を結ぶか？
• RQ4 ソルディング形式やヴィルビンなどの不変幾何的構造は、分類された時空に於いて物理理論を定義する上で果たす役割は何か？
• RQ5 中心的拡張や変形を含む超バーグマン代数は、運動論的対称性の広範な分類にどのように統合されるか？

主な発見

• 本論文は、3次元空間的次元における $\mathcal{N}=1$ 動的リー超代数の同型類を43と特定した。
• これらの超代数に由来する27の同次的 $(4|4)$ 次元超空間を分類し、それらの関係を幾何的極限によって確立した。
• $\mathcal{N}=1$ スーパーバーグマン代数分類では9つの同型類が得られ、$\mathcal{N}=2$ の場合には22の異なる分岐が特定された。
• この枠組みは、分類された時空に於ける物理理論に必要な幾何的性質（ブーストの非コンパクト性、不変アフィン接続など）を効果的に導出した。
• 収縮極限により、平坦極限（$\text{dS} \to \mathbb{M}$, $\text{AdS} \to \mathbb{M}$, $S \to \mathbb{E}$, $H \to \mathbb{E}$）および非相対論的極限（$\text{dS} \to \text{dSG}$, $\text{AdS} \to \text{AdSG}$）を含む、時空間の統一的な関係の網が明らかになった。
• $\mathcal{N}=1$ 超代数の超相対論的極限は、非有効なリー対を導き、静的幾何と関連するアリストテレス的時空に対応する。