[論文レビュー] Beyond Ohba's Conjecture: A bound on the choice number of $k$-chromatic graphs with $n$ vertices

Jonathan A. Noel, Douglas B. West+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2013

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ひとこと要約

本稿は、$n$ 頂点の $k$-彩色可能グラフの選択数に関する新しい上界を確立し、$\text{ch}(G) \leq \max\left\{k, \left\lceil \frac{n + k - 1}{3} \right\rceil \right\}$ を示している。この上界は、オーバーの予想を一般化しており、$n \leq 3k$ の場合に限り、最良である。これは、$K_{4*k}$ や $K_{5*k}$ などの完全 $k$-部グラフに対する従来の推定値を改善している。

ABSTRACT

Let $ ext{ch}(G)$ denote the choice number of a graph $G$ (also called "list chromatic number" or "choosability" of $G$). Noel, Reed, and Wu proved the conjecture of Ohba that $ ext{ch}(G)=χ(G)$ when $|V(G)|\le 2χ(G)+1$. We extend this to a general upper bound: $ ext{ch}(G)\le \max\{χ(G),\lceil({|V(G)|+χ(G)-1})/{3} ceil\}$. Our result is sharp for $|V(G)|\le 3χ(G)$ using Ohba's examples, and it improves the best-known upper bound for $ ext{ch}(K_{4,\dots,4})$.

研究の動機と目的

• 彩色数 $|V(G)| \leq 2\chi(G) + 1$ のとき $\text{ch}(G) = \chi(G)$ であると述べるオーバーの予想を、より広いグラフ族へと拡張すること。
• 特に $n > 2k + 1$ の場合に、$k$-彩色可能グラフの頂点数 $n$ に対して、選択数の最大値を特定すること。
• 特に $m \geq 4$ の場合の完全 $k$-部グラフ $K_{m*k}$ の選択数に関する既知の上界を改善すること。
• $n \leq 3k$ の場合に最良となる一般化された上界を確立し、スパarsely および密なグラフ族に適用可能であること。

提案手法

• 著者たちは、固定された $k$ と $n$ に対して選択数を最大化するグラフとして完全 $k$-部グラフを焦点として、極値グラフ論を用いている。
• 頂点と部に割り当てられた色リストに対して、合体した頂点と部のための相異なる代表系（SDR）を構成するためにハールの定理を適用している。
• 重要な技術として、3部および4部における「良いペア」の定義を行い、リストの重複サイズを用いて十分な色の可用性を保証している。
• 部のサイズに基づく場合分けを用い、以前の補題から得られる構造的制約を用いてハール条件を検証している。
• リストのサイズを制御し、リストの和集合条件を満たすために、合体した頂点および集合 $Z_3$、$Z_4$、$Z_3'$ を定義している。
• この手法は、色の総数とリストのサイズから導かれる不等式、特に部内のペアに対する $|L(u) \cap L(v)|$ を用いた二重数え上げに依存している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 頂点数 $n > 2k + 1$ の $k$-彩色可能グラフに対して、選択数の最大値は何か？
• RQ2 オーバーの予想は、$n \leq 2k + 1$ を超える一般化された上界に拡張可能か？
• RQ3 特に $m \geq 4$ の場合に、$\text{ch}(K_{m*k})$ の最もタイトな既知の上界は何か？
• RQ4 部のサイズが $m$ と $1$ の完全 $k$-部グラフは、$k$-彩色可能 $n$ 頂点グラフの中で選択数を最大化するか？

主な発見

• 任意の $n$ 頂点および彩色数 $k$ のグラフ $G$ に対して、$\text{ch}(G) \leq \max\left\{k, \left\lceil \frac{n + k - 1}{3} \right\rceil \right\}$ を確立している。
• この上界は $n \leq 3k$ の場合に限り、最良であり、特に $n - k$ が偶数のとき、オーバーの知られた極値例と一致する。
• $K_{4*k}$ の場合、上界は従来の推定値 $\left\lceil \frac{7k}{4} \right\rceil$ から $\left\lceil \frac{5k - 1}{3} \right\rceil$ に改善された。
• $K_{5*k}$ の場合、上界により $\text{ch}(K_{5*k}) \leq 2k$ が得られ、従来の推定値を改善している。
• $K_{6*k}$ の場合、上界により $\text{ch}(K_{6*k}) \leq \left\lceil \frac{7k - 1}{3} \right\rceil$ が得られ、以前の結果よりもタイトである。
• $2k - 1$ 個の色を用いた下界構成により、$\text{ch}(K_{m*k}) \geq \left\lfloor \frac{2k(m - 1)}{m} \right\rfloor - 1$ が示され、非常にタイトな基準が得られている。