[論文レビュー] Bezier curves based on Lupas (p, q)-analogue of Bernstein polynomials in CAGD.

Khalid Khan, D. K. Lobiyal|arXiv (Cornell University)|May 7, 2015

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 19被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、複数の形状パラメータを備えた一般化された有理Bézier曲線およびテンソル積曲面の形状制御を向上させるために、Lupas型$(p,q)$-Bernstein基底関数を導入する。$q$-Bézierモデルを$(p,q)$-微積分を用いて拡張することで、曲線および曲面設計におけるより高い柔軟性が可能となる。収束解析では、$p \ne 1$ の場合に線形関数に対してのみ一様収束が成立し、$p = q \to 1$ の場合に連続関数へ完全収束することが示された。本手法はアフィンde Casteljauアルゴリズムおよび次数の上昇・低下操作をサポートする。

ABSTRACT

In this paper, we use the blending functions of Lupas type (rational) $(p,q)$-Bernstein operators based on $(p,q)$-integers for construction of Lupas $(p,q)$-B$\acute{e}$zier curves (rational curves) and surfaces (rational surfaces) with shape parameters. We study the nature of degree elevation and degree reduction for Lupas $(p,q)$-B$\acute{e}$zier Bernstein functions. Parametric curves are represented using Lupas $(p,q)$-Bernstein basis. We introduce affine de Casteljau algorithm for Lupas type $(p,q)$-Bernstein B$\acute{e}$zier curves. The new curves have some properties similar to $q$-B$\acute{e}$zier curves. Moreover, we construct the corresponding tensor product surfaces over the rectangular domain $(u, v) \in [0, 1] imes [0, 1] $ depending on four parameters. We also study the de Casteljau algorithm and degree evaluation properties of the surfaces for these generalization over the rectangular domain. We get $q$-B$\acute{e}$zier surfaces for $(u, v) \in [0, 1] imes [0, 1] $ when we set the parameter $p_1=p_2=1.$ In comparison to $q$-B$\acute{e}$zier curves and surfaces based on Lupas $q$-Bernstein polynomials, our generalization gives us more flexibility in controlling the shapes of curves and surfaces. We also show that the $(p,q)$-analogue of Lupas Bernstein operator sequence $L^{n}_{p_n,q_n}(f,x)$ converges uniformly to $f(x)\in C[0,1]$ if and only if $0 0$ fixed and $p eq 1,$ the sequence $L^{n}_{p,q}(f,x)$ converges uniformly to $f(x)~ \in C[0,1]$ if and only if $f(x)=ax+b$ for some $a, b \in \mathbb{R}.$

研究の動機と目的

• $(p,q)$-アナローグのLupas Bernstein作用素を用いた、一般化された有理Bézier曲線および曲面の族の構築。
• 追加パラメータ$p$および$q$を組み込むことで、既存の$q$-Bézierモデルを上回る形状の柔軟性の向上。
• 曲線および曲面評価のためのアフィンde Casteljauアルゴリズムの確立。
• 新しい$(p,q)$-フレームワークにおける次数上昇および低下の性質の分析。
• 区間$[0,1]$における$(p,q)$-Bernstein作用素列の一様収束に関する調査。

提案手法

• $(p,q)$-整数を用いて、Lupas型有理$(p,q)$-Bernstein作用素に基づく混合関数を構築する。
• これらの基底関数を用いて$(p,q)$-Bézier曲線を定義し、形状パラメータを埋め込んで制御を可能にする。
• 効率的で幾何学的に直感的な曲線評価を可能にする、アフィンde Casteljauアルゴリズムを開発する。
• 四つのパラメータを用いて、$[0,1] \times [0,1]$ 上のテンソル積曲面にフレームワークを拡張する。
• パラメータの変化に伴う曲線および曲面の挙動を分析するため、次数上昇および低下技術を適用する。
• 異なる$p,q$の条件下で、区間$[0,1]$における作用素列$L^{n}_{p_n,q_n}(f,x)$が$f(x)$に収束するかを解析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 形状パラメータ$p$および$q$は、$q$-Bézierモデルと比較して、$(p,q)$-Bézier曲線および曲線の制御と柔軟性にどのように影響を与えるか？
• RQ2 区間$[0,1]$における連続関数への$(p,q)$-Bernstein作用素列の一致収束の必要十分条件は何か？
• RQ3 アフィンde Casteljauアルゴリズムを$(p,q)$-Bézier曲線に一般化することは可能か？また、幾何的性質をどのように保持するか？
• RQ4 古典的および$q$-Bézierの場合と比較して、$(p,q)$-Bézierフレームワークにおける次数上昇および低下の挙動はいかなるものか？
• RQ5 $p_1 = p_2 = 1$ のとき、$(p,q)$-アナローグと古典的$q$-Bézierモデルとの関係は何か？

主な発見

• $(p,q)$-Bézier曲線および曲線は、追加のパラメータ$p$および$q$のおかげで、$q$-Bézierモデルよりも高い形状の柔軟性を有する。
• $p = q \to 1$ の場合、モデルは古典的$q$-Bézier曲線および曲線に簡約され、先行研究と整合性が確認される。
• 作用素列$L^{n}_{p_n,q_n}(f,x)$は、$f(x) \in C[0,1]$ に一様収束するための必要十分条件として、$p_n \to 1$ かつ $q_n \to 1$ かつ $0 < q_n < p_n \leq 1$ を満たす必要がある。これにより、すべての連続関数に対して収束が保証される。
• 固定された$p \ne 1$に対して、作用素列$L^{n}_{p,q}(f,x)$が$f(x)$に一様収束するのは、$f(x)$が線形関数、すなわち$f(x) = ax + b$ の場合に限る。
• $(p,q)$-Bézier曲線に対して、安定的で幾何学的に直感的な評価が可能なアフィンde Casteljauアルゴリズムが成功裏に構築された。
• テンソル積曲面は$[0,1] \times [0,1]$ 上で四つの独立パラメータを用いて定義され、$q$-Bézier曲面を一般化し、次数評価および幾何操作をサポートする。