[論文レビュー] ${\bf C}^*$-extensions of tori, higher Chow groups and applications to incidence equivalence relations for algebraic cycles.

Stefan Müller–Stach|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 1995

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、トーラスのC*-拡張と高次チャウ群の間の関係を確立し、特徴標数0において、Blochのホモロジカルに自明なサイクルのチャウ群上のG_m-双拡張が、中間ジャコビアン上のポアンカレ双拡張の引き戻しと同型であることを証明する。この結果により、グリフィスの予想がコドメイン2サイクルについて確認され、代数的およびインシデント同値ゼロのサイクルは、すべてねじれ Abel-Jacobi不変量を持つことが示される。

ABSTRACT

Let X be a smooth projective variety of dimension n. If $p+q=n+1$ then Bloch has defined a ${\bf G}_m$-biextension E over the product of the Chow groups $CH^p_0(X)$ and $CH^q_0(X)$ of homologically trivial cycles. We prove that E is the pullback of the Poincare biextension over the product of intermediate Jacobians in characteristic zero. This is used to study various equivalence relations for algebraic cycles. In particular we reprove Murres result that Griffiths conjecture holds for codimension two cycles, i.e. every codim. two cycle algebraically and incidence equivalent to zero has torsion Abel-Jacobi invariant.

研究の動機と目的

• 滑らかで射影的な多様体上のホモロジカルに自明なサイクルのチャウ群におけるBlochのG_m-双拡張の構造を理解すること。
• 特徴標数0において、双拡張を通じて代数的サイクルと中間ジャコビアンの関係を調査すること。
• インシデント同値関係の下でコドメイン2サイクルのアーベル・ジャコビ不変量のねじれ性を再証明すること。
• 代数的サイクルおよび高次チャウ群の文脈におけるトーラスのC*-拡張の幾何学的およびコhomological意味を明確にすること。

提案手法

• 次元nの滑らかで射影的な多様体Xについて、チャウ群CH^p_0(X)およびCH^q_0(X)上のG_m-双拡張の理論を用いる。
• 中間ジャコビアンの積上のポアンカレ双拡張を適用し、BlochのG_m-双拡張と比較する。
• ホッジ理論的およびコhomologicalな道具の有効性を保証するため、特徴標数0の仮定を適用する。
• ポアンカレ双拡張の引き戻しとBlochのG_m-双拡張との同型を根拠として、主要結果を確立する。
• ホモロジカル同値関係に関する代数的サイクルをパラメトライズするために高次チャウ群を用いる。
• 代数的K理論およびモチーフコhomologyの結果を応用し、インシデント同値関係を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴標数0において、ホモロジカルに自明なサイクルのチャウ群上のBlochのG_m-双拡張は、中間ジャコビアン上のポアンカレ双拡張の引き戻しと同型か？
• RQ2 C*-拡張のトーラスは、高次チャウ群および代数的サイクルとどのように関係するか？
• RQ3 インシデント同値性は、コドメイン2サイクルのアーベル・ジャコビ不変量のねじれ性を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ4 双拡張の構造を用いて、コドメイン2サイクルのグリフィス予想に関するマーティの結果を再証明できるか？
• RQ5 中間ジャコビアンおよび代数的サイクルの観点から、G_m-双拡張の幾何学的解釈は何か？

主な発見

• p+q = n+1を満たすCH^p_0(X) × CH^q_0(X)上のG_m-双拡張は、特徴標数0において中間ジャコビアンの積上のポアンカレ双拡張の引き戻しと同型である。
• この同型は、ポアンカレ構成を通じてBlochのG_m-双拡張のホッジ理論的実現を提供する。
• この結果により、すべてのコドメイン2サイクルが代数的およびインシデント同値ゼロであれば、ねじれ Abel-Jacobi不変量を持つことが確認され、マーティの定理が再証明される。
• 双拡張構造を通じて、トーラスのC*-拡張と高次チャウ群の間の関係が確立される。
• 本稿は、特徴標数0の仮定の下で、インシデント同値性がコドメイン2サイクルのアーベル・ジャコビ不変量のねじれ性を示すことを示している。
• 中間ジャコビアンおよび双拡張の使用により、代数的サイクル上の同値関係を研究するコhomologicalフレームワークが提供される。