[論文レビュー] Bi-capacities -- Part II: the Choquet integral

Michel Grabisch, Christophe Labreuche|ArXiv.org|Nov 14, 2007

Multi-Criteria Decision Making参考文献 13被引用数 54

ひとこと要約

本稿は、正負の値をとるスケール（双極的尺度）における意思決定をモデル化するための数学的枠組みであるバイキャパシティに関する一般化されたチョケット積分を導入する。積分には、モビウス変換に基づくものと、相互作用インデックスを用いた2-加法的バイキャパシティに関するものなど、複数の定式化が含まれており、累積的プロスペクト理論（CPT）のような意思決定行動の正確なモデル化を可能にする。主な貢献は、対称的・非対称的チョケット積分やCPTといった古典的モデルを特別な場合として回復する統一的な積分の構築である。

ABSTRACT

Bi-capacities arise as a natural generalization of capacities (or fuzzy measures) in a context of decision making where underlying scales are bipolar. They are able to capture a wide variety of decision behaviours, encompassing models such as Cumulative Prospect Theory (CPT). The aim of this paper in two parts is to present the machinery behind bi-capacities, and thus remains on a rather theoretical level, although some parts are firmly rooted in decision theory, notably cooperative game theory. The present second part focuses on the definition of Choquet integral. We give several expressions of it, including an expression w.r.t. the Möbius transform. This permits to express the Choquet integral for 2-additive bi-capacities w.r.t. the interaction index.

研究の動機と目的

• 意思決定理論における既存モデルを一般化するバイキャパシティに関するチョケット積分を定義すること。
• 積分が対称的・非対称的チョケット積分や累積的プロスペクト理論（CPT）といった既知のモデルに還元されることを保証すること。
• 一般のバイキャパシティに対して、モビウス変換を用いて積分を表現すること。
• 2-加法的バイキャパシティの場合に、相互作用インデックスを用いて積分の閉形式を導出すること。
• 相互作用に基づく定式化における部分的凸性および非負の係数といった望ましい性質が保持されることを示すこと。

提案手法

• バイキャパシティ v に関するチョケット積分を定義する際、それが3値のアクション（A上で1、B上で-1、それ以外で0）において v と一致するように要請する。
• バイキャパシティのモビウス変換を用いて積分を表現し、すべての互いに素な部分集合のペア (A,B) からの寄与を分解可能にする。
• 2-加法的バイキャパシティの場合、相互作用インデックス I_{ij,∅}、I_{∅,ij}、I_{i,j} を用いて積分を再定式化し、基準間の対の相互作用を捉える。
• 関数値に基づいて基準の集合を正領域（N⁺）、負領域（N⁻）、ゼロ領域に分割することで、積分の区分的表現を導出する。
• 代数的変形およびmax/min関数の性質を用いて項を再編成し、個々の変数の係数が非負であることを保証する。
• 得られた表現が既知のモデルに還元されることを検証する：ν₊ = ν₋ のとき対称的チョケット積分に、ν₊ = ν₋ の共役のとき非対称的チョケット積分に、ν₊ と ν₋ が独立なキャパシティのときCPTに還元される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バイキャパシティに対して一貫的に定義されたチョケット積分は、それが3値アクションにおけるバイキャパシティ値を回復するようにどのように定義可能か？
• RQ2 バイキャパシティ用のチョケット積分は、モビウス変換を用いて表現可能であり、部分集合ごとの寄与に分解可能か？
• RQ3 2-加法的バイキャパシティの場合、チョケット積分はどのように簡略化され、相互作用インデックスはこの定式化において果たす役割は何か？
• RQ4 提案された積分は、対称的・非対称的およびCPTチョケット積分といった既存モデルを一般化するか？
• RQ5 相互作用に基づく定式化における係数は非負か？これにより部分的凸性および解釈可能性が保証されるか？

主な発見

• 提案されたバイキャパシティに関するチョケット積分は、3値アクションにおいてバイキャパシティ値を再現するという基本的要件を満たしており、基礎となるモデルと整合的であることが保証される。
• 積分はバイキャパシティのモビウス変換を用いて表現可能であり、すべての互いに素な部分集合ペア (A,B) からの寄与に分解可能である。
• 2-加法的バイキャパシティの場合、積分は相互作用インデックス I_{ij,∅}、I_{∅,ij}、I_{i,j} によって完全に特徴付けられ、基準間の正のおよび負の協調効果を捉える。
• 相互作用に基づく積分の表現は、minおよびmax関数を含む項の凸結合であり、非負の係数を持つため、部分的凸性が保証される。
• ν₊ = ν₋ のとき対称的チョケット積分に、ν₊ = ν₋ の共役のとき非対称的チョケット積分に、ν₊ と ν₋ が独立なキャパシティのときCPTモデルに還元される。
• 最終的な表現における各 f_i の係数は非負であることが、相互作用インデックスの性質および集合の分割を用いた証明により確認され、モデルの安定性および解釈可能性が裏付けられる。