[論文レビュー] Bidirectional Collision Detection and Faster Deterministic Isomorphism Testing

David J. Rosenbaum|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 11被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、群、環、グラフにおける同型性テストにおいて平方根の高速化を達成する、新しい決定的アルゴリズムフレームワークである双方向衝突検出を導入する。前向きおよび後向きの両方向での効率的な衝突検出により、一般群の同型性テストの実行時間を $ n^{(1/2)/log n + O(1)} $ に削減し、長年の $ n^{/log n + O(1)} $ の生成子列挙法を著しく上回る。

ABSTRACT

In this work, we introduce bidirectional collision detection --- a new algorithmic tool that applies to the collision problems that arise in many isomorphism problems. For the group isomorphism problem, we show that bidirectional collision detection yields a deterministic n^((1 / 2) log n + O(1)) time algorithm whereas previously the n^(log n + O(1)) generator-enumeration algorithm was the best result for several decades. For the hard special case of solvable groups, we combine bidirectional collision detection with methods from the author's previous work to obtain a deterministic square-root speedup over the best previous algorithm. We also show a deterministic square-root speedup over the best previous algorithm for testing isomorphism of rings. We can even apply bidirectional collision detection to the graph isomorphism problem to obtain a deterministic T^(1 / sqrt(2)) speedup over the best previous deterministic algorithm. Although the space requirements for our algorithms are greater than those for previous deterministic isomorphism tests, we show time-space tradeoffs that interpolate between the resource requirements of our algorithms and previous work.

研究の動機と目的

• 長年の未解決問題である、生成子列挙法の $ n^{/log n + O(1)} $ の境界を超えて、一般群の同型性テストの決定的アルゴリズムを改善すること。
• 統一されたアルゴリズムフレームワークを用いて、この高速化を可解群、環、およびグラフ同型性問題へと拡張すること。
• 新アルゴリズムと生成子列挙法のリソース要件の間を滑らかに補間する決定的時間-空間トレードオフを確立すること。
• 量子衝突検出の変種を用いて、同型性問題のための量子時間-空間トレードオフを探索すること。

提案手法

• 同型性問題における衝突探索を決定的に高速化するための新技術として、双方向衝突検出を提案する。
• 二つの候補同型写像の集合を構築し、双方向探索によって共通要素の有無を確認することで、群の同型性テストにこの手法を適用する。
• 探索空間のブロック分解を用いて時間-空間トレードオフを導出し、生成子列挙法と新アルゴリズムを極端な点として位置づける。
• 可解群に対して、双方向衝突検出を既存の技術と組み合わせることで、第四乗根の高速化を達成する。
• 環の同型性問題にこのフレームワークを適応させるために、環における生成子列挙の類似手法を用いる。
• グラフ同型性問題にこの手法を適用し、これまでで最も良い決定的アルゴリズムよりも $ T^{1/ackslashsqrt{2}} $ の高速化を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双方向衝突検出を用いて、一般群の同型性テストにおいて決定的平方根の高速化を達成できるか？
• RQ2 既存の技術と組み合わせた場合、このフレームワークを可解群の同型性テストに拡張し、第四乗根の高速化を達成できるか？
• RQ3 双方向衝突検出を環の同型性問題に適用し、同様の平方根の高速化を達成できるか？
• RQ4 この手法をグラフ同型性問題に適応させ、非自明な決定的高速化を達成できるか？
• RQ5 この新しいフレームワークを用いた場合、同型性問題における達成可能な時間-空間トレードオフは何か？

主な発見

• 双方向衝突検出により、一般群の同型性テストに対して決定的 $ n^{(1/2)/log n + O(1)} $ 時間のアルゴリズムが得られ、生成子列挙法の $ n^{/log n + O(1)} $ に比べて平方根の高速化が達成される。
• 可解群の場合、双方向衝突検出を既存技術と組み合わせることで、決定的 $ n^{(1/4)/log n + O(/log n/ackslashlogackslashlog n)} $ 時間のアルゴリズムが得られ、第四乗根の高速化が達成される。
• 環の同型性テストに対しても、決定的平方根の高速化が達成され、群の同型性テストで得られた性能向上と同等の効果が得られる。
• グラフ同型性テストにおいては、これまでで最も良い決定的アルゴリズムよりも $ T^{1/ackslashsqrt{2}} $ の高速化が達成される。
• 時間-空間トレードオフが確立された：一般群では $ TS = n^{/log n + O(1)} $、$ S \leq n^{(1/2)/log n + O(1)} $ であり、可解群では $ TS = n^{(1/2)/log n + O(/log n/ackslashlogackslashlog n)} $ である。
• 量子時間-空間トレードオフが導出された。一般群では $ T\sqrt{S} = n^{(1/2)/log n + O(1)} $、可解群では $ T\sqrt{S} = n^{(1/4)/log n + O(/log n/ackslashlogackslashlog n)} $ である。